Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e é a interseção do cone com a semi-esfera . (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . A curva é a interseção de um cone com uma semi-esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, que geralmente é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com a integral da rotacional de sobre uma superfície que tem como contorno. A fórmula é:
Aqui, é a rotacional de e é o vetor normal à superfície .

Passo 3

Vamos identificar a superfície . Como é a interseção do cone com a semi-esfera , podemos escolher como a parte da semi-esfera que está acima do cone. Isso facilita na parametrização e no cálculo da integral de superfície.

Passo 4

Agora, vamos calcular a rotacional de . Dado que:
A rotacional é dado por:
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Portanto,

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a superfície e encontrar o vetor normal . Como escolhemos como a parte da semi-esfera acima do cone , podemos usar coordenadas esféricas para facilitar.
Em coordenadas esféricas:
Para a semi-esfera e, devido ao cone , temos .
O vetor normal em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 6

Vamos agora expressar a integral de superfície:
Substituindo e :
Simplificando a integral considerando e :
Substituindo , , em termos de , , :
Simplificando:
Como , a expressão dentro da integral simplifica para:

Passo 7

Agora, substituímos e :
A integral se torna:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da esfera de raio 4 , com , orientada com a normal que aponta para a cima.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da superfície por com orientação apontando para a direção negativa do eixo .
Calcule a integral de linha do campo singular
é o bordo da superfície dada por a interseção da esfera e o cilindro no primeiro octante, com orientação dada pela normal com componente positiva, e é o campo vetorial
Aqui consideramos orientada compativelmente respeito a orientação de
Calcule a integral de linha do campo singular
é o arco de círculo seguido pelo arco de hélice , e é o campo vetorial