Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e
é a interseção do cone
com a semi-esfera
. (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. A curva
é a interseção de um cone com uma semi-esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, que geralmente é mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva fechada
com a integral da rotacional de
sobre uma superfície
que tem
como contorno. A fórmula é:
Aqui,
é a rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 3
Vamos identificar a superfície
. Como
é a interseção do cone
com a semi-esfera
, podemos escolher
como a parte da semi-esfera que está acima do cone. Isso facilita na parametrização e no cálculo da integral de superfície.
Passo 4
Agora, vamos calcular a rotacional de
. Dado que:
A rotacional
é dado por:
Calculando cada componente:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Portanto,
Passo 5
Agora, precisamos parametrizar a superfície
e encontrar o vetor normal
. Como escolhemos
como a parte da semi-esfera
acima do cone
, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar.
Em coordenadas esféricas:
Para a semi-esfera
e, devido ao cone
, temos
.
O vetor normal
em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 6
Vamos agora expressar a integral de superfície:
Substituindo
e
:
Simplificando a integral considerando
e
:
Substituindo
,
,
em termos de
,
,
:
Simplificando:
Como
, a expressão dentro da integral simplifica para:
Passo 7
Agora, substituímos
e
:
A integral se torna:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da esfera de raio 4 , com
, orientada com a normal que aponta para a cima.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde
é a porção da superfície
por
com orientação apontando para a direção negativa do eixo
.
Calcule a integral de linha do campo singular
Aqui consideramos
orientada compativelmente respeito a orientação de
Calcule a integral de linha do campo singular