Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
integralC F cdot d s
onde:
F(x, y, z)=(sen x-y^33, cos y+x^33, x y z) e C é a interseção do cone z^2=x^2+y^2 com a semi-esfera x^2+y^2+z^2=2, z >= 0. (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando o Teorema de Stokes. O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. A curva C é a interseção de um cone com uma semi-esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes e como aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral de superfície, que geralmente é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes. Ele relaciona a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada C com a integral da rotacional de F sobre uma superfície S que tem C como contorno. A fórmula é:
integralC F cdot d s = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, nabla times F é a rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos identificar a superfície S. Como C é a interseção do cone z^2 = x^2 + y^2 com a semi-esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2, podemos escolher S como a parte da semi-esfera que está acima do cone. Isso facilita na parametrização e no cálculo da integral de superfície.

Passo 4

Agora, vamos calcular a rotacional de F. Dado que:
F(x, y, z) = (sin x - y^33, cos y + x^33, x y z)
A rotacional nabla times F é dado por:
nabla times F = ( partialpartial y(x y z) - partialpartial z(cos y + x^33), partialpartial z(sin x - y^33) - partialpartial x(x y z), partialpartial x(cos y + x^33) - partialpartial y(sin x - y^33) )
Calculando cada componente:
  • Componente i:
    partialpartial y(x y z) - partialpartial z(cos y + x^33) = x z - 0 = x z
  • Componente j:
    partialpartial z(sin x - y^33) - partialpartial x(x y z) = 0 - (y z + x y cdot 0) = -y z
  • Componente k:
    partialpartial x(cos y + x^33) - partialpartial y(sin x - y^33) = x^2 - (-y^2) = x^2 + y^2
Portanto,
nabla times F = (x z, -y z, x^2 + y^2)

Passo 5

Agora, precisamos parametrizar a superfície S e encontrar o vetor normal n. Como escolhemos S como a parte da semi-esfera x^2 + y^2 + z^2 = 2 acima do cone z^2 = x^2 + y^2, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar.
Em coordenadas esféricas:
x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi
Para a semi-esfera r = raiz2 e, devido ao cone z^2 = x^2 + y^2, temos phi = pi/4.
O vetor normal n em coordenadas esféricas é dado por:
n = sin phi cos theta i + sin phi sin theta j + cos phi k

Passo 6

Vamos agora expressar a integral de superfície:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Substituindo nabla times F e n:
integral duplaS (x z, -y z, x^2 + y^2) cdot (sin phi cos theta, sin phi sin theta, cos phi) r^2 sin phi , dphi , dtheta
Simplificando a integral considerando r = raiz2 e phi = pi/4:
integral duplaS [ x z sin phi cos theta - y z sin phi sin theta + (x^2 + y^2) cos phi ] r^2 sin phi , dphi , dtheta
Substituindo x, y, z em termos de r, phi, theta:
integral duplaS [ (r sin phi cos theta)(r cos phi) sin phi cos theta - (r sin phi sin theta)(r cos phi) sin phi sin theta + (r^2 sin^2 phi cos^2 theta + r^2 sin^2 phi sin^2 theta) cos phi ] r^2 sin phi , dphi , dtheta
Simplificando:
integral duplaS [ r^2 sin^2 phi cos phi cos^2 theta - r^2 sin^2 phi cos phi sin^2 theta + r^2 sin^2 phi cos phi (cos^2 theta + sin^2 theta) ] r^2 sin phi , dphi , dtheta
Como cos^2 theta + sin^2 theta = 1, a expressão dentro da integral simplifica para:
r^4 sin^3 phi cos phi

Passo 7

Agora, substituímos r = raiz2 e phi = pi/4:
r^4 sin^3 phi cos phi = (2^2) (sin^3 pi4) (cos pi4) = 4 ( (raiz22)^3 ) (raiz22) = 4 ( 2^3/28 ) ( 2^1/22 ) = 4 ( raiz24 ) = raiz2
A integral se torna:
raiz2 integral0^2pi dtheta = raiz2 cdot 2pi = 2pi raiz2

Resposta

A integral vale 2pi raiz2.

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