Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da esfera de raio 4 , com , orientada com a normal que aponta para a cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema de Stokes. A ideia é calcular uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial F sobre uma porção de esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F e depois aplicar o teorema para transformar a integral de superfície em uma integral de linha, que geralmente é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de F, denotado por rot F ou ∇×F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de F, usamos a seguinte fórmula:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional de F. Dada a função F:
Vamos identificar Fₓ, Fᵧ e F𝓏:
  • Fₓ = y
  • Fᵧ = -x
  • F𝓏 = y x³
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  • F𝓏/∂y = x³
  • Fᵧ/∂z = 0 (já que Fᵧ não depende de z)
  • Fₓ/∂z = 0 (já que Fₓ não depende de z)
  • F𝓏/∂x = 3y x²
  • Fᵧ/∂x = -1
  • Fₓ/∂y = 1
Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 4

Agora que temos o rotacional de F, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda de S.
No nosso caso, S é a porção da esfera de raio 4 com z ≥ 0. A borda de S, ∂S, é o círculo no plano z = 0 com raio 4. Vamos parametrizar esse círculo.

Passo 5

Vamos parametrizar a curva ∂S no plano z = 0 com raio 4. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
O vetor diferencial d****r é:

Passo 6

Agora, vamos calcular F ao longo da curva ∂S. Substituindo z = 0 na função F:
Mas como z = 0 nessa curva e a integral de linha será no plano, a componente k não vai contribuir porque dr tem somente componentes i e j. Então, podemos focar nas componentes i e j de F.

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar F·dr:

Passo 8

Agora, vamos integrar isso de θ = 0 a θ = 2π:

Resposta

A integral solicitada é igual a .

Exercícios relacionados

Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde
onde é a porção da superfície por com orientação apontando para a direção negativa do eixo .
e é o pedaço do plano contido no interior da esfera , orientado pela normal apontando para cima.
Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
onde:
e é a interseção do cone com a semi-esfera . (orientada em sentido anti-horário para quem olha de cima).
Calcule a integral de linha do campo singular
é o bordo da superfície dada por a interseção da esfera e o cilindro no primeiro octante, com orientação dada pela normal com componente positiva, e é o campo vetorial
Aqui consideramos orientada compativelmente respeito a orientação de