Use o teorema de Stokes para calcular as seguintes integrais
integralS rot F cdot n d S
onde
F(x, y, z)=y i-x j+y x^3 k onde S é a porção da esfera de raio 4 , com z >= 0, orientada com a normal que aponta para a cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Vetorial, mais especificamente usando o Teorema de Stokes. A ideia é calcular uma integral de superfície envolvendo o rotacional de um campo vetorial F sobre uma porção de esfera. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F e depois aplicar o teorema para transformar a integral de superfície em uma integral de linha, que geralmente é mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional de F, denotado por rot F ou ∇×F, mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de F, usamos a seguinte fórmula:
rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional de F. Dada a função F:
F(x, y, z) = y i - x j + y x^3 k
Vamos identificar Fₓ, Fᵧ e F𝓏:
  • Fₓ = y
  • Fᵧ = -x
  • F𝓏 = y x³
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
  • F𝓏/∂y = x³
  • Fᵧ/∂z = 0 (já que Fᵧ não depende de z)
  • Fₓ/∂z = 0 (já que Fₓ não depende de z)
  • F𝓏/∂x = 3y x²
  • Fᵧ/∂x = -1
  • Fₓ/∂y = 1
Substituindo na fórmula do rotacional:
rot F = (x^3 - 0) i + (0 - 3y x^2) j + (-1 - 1) k = x^3 i - 3y x^2 j - 2 k

Passo 4

Agora que temos o rotacional de F, vamos aplicar o Teorema de Stokes, que diz:
integralS rot F cdot n , dS = ointpartial S F cdot dr
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de F sobre S é igual à integral de linha de F ao longo da borda de S.
No nosso caso, S é a porção da esfera de raio 4 com z ≥ 0. A borda de S, ∂S, é o círculo no plano z = 0 com raio 4. Vamos parametrizar esse círculo.

Passo 5

Vamos parametrizar a curva ∂S no plano z = 0 com raio 4. Podemos usar coordenadas polares para facilitar:
r(θ) = 4 cosθ i + 4 sinθ j + 0 k, θ in [0, 2pi]
O vetor diferencial d****r é:
dr = drdθ dθ = (-4 sinθ i + 4 cosθ j) dθ

Passo 6

Agora, vamos calcular F ao longo da curva ∂S. Substituindo z = 0 na função F:
F(r(θ)) = y i - x j + y x^3 k = (4 sinθ) i - (4 cosθ) j + (4 sinθ)(4 cosθ)^3 k
Mas como z = 0 nessa curva e a integral de linha será no plano, a componente k não vai contribuir porque dr tem somente componentes i e j. Então, podemos focar nas componentes i e j de F.

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar F·dr:
F cdot dr = (4 sinθ)(-4 sinθ) + (-4 cosθ)(4 cosθ) = -16 sin^2θ - 16 cos^2θ = -16 (sin^2θ + cos^2θ) = -16

Passo 8

Agora, vamos integrar isso de θ = 0 a θ = 2π:
ointpartial S F cdot dr = integral0^2pi -16 , dθ = -16 [θ]0^2pi = -16 (2pi - 0) = -32pi

Resposta

A integral solicitada é igual a .

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