Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo da circunferência
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que envolve um campo vetorial e uma circunferência. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e possivelmente o Teorema de Green. Primeiro, precisamos entender o campo vetorial dado e a trajetória que vamos seguir para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no campo vetorial
. Queremos calcular a integral de linha desse campo ao longo da circunferência
no sentido anti-horário.
Passo 3
Para facilitar, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Se for o caso, a integral de linha em uma curva fechada seria zero. Mas antes, vamos calcular a componente
e
do campo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar se o campo é conservativo, ou seja, se
.
Calculando :
Calculando
Calculando
:
Comparando as duas derivadas:
Então,
.
Passo 5
Como
, o campo
é conservativo. Para integrais de linha de campos conservativos em curvas fechadas, a integral é zero, porque o potencial retorna ao mesmo valor inicial.
Resposta
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