Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo da circunferência orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que envolve um campo vetorial e uma circunferência. A gente vai usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e possivelmente o Teorema de Green. Primeiro, precisamos entender o campo vetorial dado e a trajetória que vamos seguir para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no campo vetorial . Queremos calcular a integral de linha desse campo ao longo da circunferência no sentido anti-horário.

Passo 3

Para facilitar, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Se for o caso, a integral de linha em uma curva fechada seria zero. Mas antes, vamos calcular a componente e do campo :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para verificar se o campo é conservativo, ou seja, se .
Calculando :
Calculando :
Comparando as duas derivadas:
Então, .

Passo 5

Como , o campo é conservativo. Para integrais de linha de campos conservativos em curvas fechadas, a integral é zero, porque o potencial retorna ao mesmo valor inicial.

Resposta

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, onde é a circunferência orientada no sentido horário.
, onde é a circunferência de centro e raio 1 orientada no sentido anti-horário.
Determine os limites:
Determine os limites: