, onde
é a circunferência
orientada no sentido horário.
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
, onde
é a circunferência
orientada no sentido horário.
Aqui, estamos lidando com integrais de linha no campo vetorial. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral no formato geral do Teorema de Green:
onde, no nosso caso,
Passo 3
O Teorema de Green afirma que:
onde
é a região interior a
.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo no Teorema de Green:
Passo 5
A região
é o interior da circunferência
, que é um círculo de raio
. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Em coordenadas polares,
e
.
Então, a integral se torna:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então, a integral fica:
Resposta
O valor da integral é
.