integralC y^3 d x-x^3 d y, onde C é a circunferência x^2+y^2=4 orientada no sentido horário.

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha integralC y^3 , dx - x^3 , dy, onde C é a circunferência x^2 + y^2 = 4 orientada no sentido horário.
Aqui, estamos lidando com integrais de linha no campo vetorial. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral no formato geral do Teorema de Green:
ointC P , dx + Q , dy
onde, no nosso caso,
P = y^3 e Q = -x^3

Passo 3

O Teorema de Green afirma que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde D é a região interior a C.
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial (-x^3)partial x = -3x^2
partial Ppartial y = partial (y^3)partial y = 3y^2

Passo 4

Substituindo no Teorema de Green:
integral duplaD ( -3x^2 - 3y^2 ) dA = -3 integral duplaD ( x^2 + y^2 ) dA

Passo 5

A região D é o interior da circunferência x^2 + y^2 = 4, que é um círculo de raio 2. Podemos usar coordenadas polares para facilitar a integração.
Em coordenadas polares, x^2 + y^2 = r^2 e dA = r , dr , dtheta.
Então, a integral se torna:
-3 integral0^2pi integral0^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = -3 integral0^2pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4
Então, a integral fica:
-3 integral0^2pi 4 , dtheta = -12 integral0^2pi dtheta = -12 cdot 2pi = -24pi

Resposta

O valor da integral é -24pi.

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