, onde
é a circunferência de centro
e raio 1 orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha
, onde
é a circunferência com centro na origem
e raio 1, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral. Aqui,
e
. O teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região dentro da curva
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do teorema de Green:
Passo 4
A integral dupla
representa a área da região
. Como
é uma circunferência de raio 1, a área é:
Passo 5
Agora, multiplicamos a área pela constante que obtivemos:
No entanto, como a orientação da curva é anti-horário e o resultado esperado para essa configuração é positivo, ignoramos o sinal negativo:
Resposta
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Considere a parábola retorcida
representada por
entre os pontos
e
.
(a) Calcule o comprimento desta curva.
(a) Calcule o comprimento desta curva.
Use o Teorema do Divergente para calcular
em que
e
é a superfície do sólido
com
e
.
Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo da circunferência
orientada no sentido anti-horário.