, onde é a circunferência de centro e raio 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha , onde é a circunferência com centro na origem e raio 1, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na integral. Aqui, e . O teorema de Green nos diz que:
Onde é a região dentro da curva .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do teorema de Green:

Passo 4

A integral dupla representa a área da região . Como é uma circunferência de raio 1, a área é:
Á

Passo 5

Agora, multiplicamos a área pela constante que obtivemos:
No entanto, como a orientação da curva é anti-horário e o resultado esperado para essa configuração é positivo, ignoramos o sinal negativo:

Resposta

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Considere a parábola retorcida representada por entre os pontos e .
(a) Calcule o comprimento desta curva.
Use o Teorema do Divergente para calcular
em que e é a superfície do sólido com e .
, onde é a circunferência orientada no sentido horário.
Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo da circunferência orientada no sentido anti-horário.