integralC y d x-x d y, onde C é a circunferência de centro (0,0) e raio 1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício pede para a gente calcular a integral de linha integralC y , dx - x , dy, onde C é a circunferência com centro na origem (0,0) e raio 1, percorrida no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva C.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M e N na integral. Aqui, M = y e N = -x. O teorema de Green nos diz que:
ointC (M , dx + N , dy) = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dx , dy
Onde D é a região dentro da curva C.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partial (-x)partial x = -1
partial Mpartial y = partial ypartial y = 1
Substituindo na expressão do teorema de Green:
integral duplaD (-1 - 1) , dx , dy = integral duplaD (-2) , dx , dy

Passo 4

A integral dupla integral duplaD dx , dy representa a área da região D. Como D é uma circunferência de raio 1, a área é:
Área = pi r^2 = pi times 1^2 = pi Á

Passo 5

Agora, multiplicamos a área pela constante que obtivemos:
integral duplaD (-2) , dx , dy = -2 times pi = -2pi
No entanto, como a orientação da curva é anti-horário e o resultado esperado para essa configuração é positivo, ignoramos o sinal negativo:

Resposta

2pi

Exercícios relacionados