Determine os limites: lim (x, y) (1,0) x^2 sen(y)+y^4 cos (x y)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar o limite da função de duas variáveis lim (x, y) (1,0) x^2 sen(y)+y^4 cos (x y). Estamos trabalhando com limites em funções multivariáveis e vamos utilizar propriedades básicas de limites, além de conhecimentos sobre funções trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Vamos analisar cada termo da função separadamente para facilitar a resolução.

Passo 3

Primeiro, olhemos para x^2 sen(y). Sabemos que:
  • Quando x 1, x^2 1^2 = 1.
  • Quando y 0, sen(y) 0 (já que o seno de 0 é 0).
Portanto, o limite do primeiro termo é:
lim(x, y) (1,0) x^2 sen(y) = 1 times 0 = 0

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo y^4 cos(x y). Sabemos que:
  • Quando y 0, y^4 0 (pois qualquer número pequeno elevado a uma potência positiva tende a 0).
  • cos(x y) é uma função contínua, então cos(x y) cos(1 times 0) = cos(0) = 1.
Portanto, o limite do segundo termo é:
lim(x, y) (1,0) y^4 cos(x y) = 0 times 1 = 0

Resposta

Somando os limites dos dois termos, temos:
0 + 0 = 0
Portanto, o limite da função é 0.

Exercícios relacionados