Determine os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aí:
. A matéria que envolve isso é cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar analisar como a função se comporta quando
se aproxima de
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite quando
se aproxima de
existe se, independente do caminho que a gente escolher para chegar em
, o valor da função se aproxima do mesmo número.
Passo 3
Vamos começar testando alguns caminhos simples. Por exemplo, se fixarmos
, a função fica:
Então, ao longo do eixo
, o limite é
.
Passo 4
Agora, vamos testar outro caminho:
. Substituindo na função:
Então, ao longo do eixo
, o limite também é
.
Passo 5
Vamos tentar um caminho mais geral, como
, onde
é uma constante. Substituindo:
Quando
, esse valor também tende a
.
Passo 6
Por último, vamos considerar um caminho não linear, como
, onde
é positivo. Substituindo:
Para
, quando
, o numerador tende a
, então o limite é
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo da circunferência
orientada no sentido anti-horário.
Determine os limites:
Determine os limites: