Determine os limites: lim (x, y) (0,0) 3 x y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí: lim (x, y) (0,0) 3 x y^2x^2+y^2. A matéria que envolve isso é cálculo de limites em funções de várias variáveis. Vamos precisar analisar como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe se, independente do caminho que a gente escolher para chegar em (0,0), o valor da função se aproxima do mesmo número.

Passo 3

Vamos começar testando alguns caminhos simples. Por exemplo, se fixarmos y = 0, a função fica:
3 x cdot 0^2x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0
Então, ao longo do eixo x, o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos testar outro caminho: x = 0. Substituindo na função:
3 cdot 0 cdot y^20^2 + y^2 = 0y^2 = 0
Então, ao longo do eixo y, o limite também é 0.

Passo 5

Vamos tentar um caminho mais geral, como y = kx, onde k é uma constante. Substituindo:
3 x (k x)^2x^2 + (k x)^2 = 3 x cdot k^2 x^2x^2(1 + k^2) = 3 k^2 x^3x^2(1 + k^2) = 3 k^2 x1 + k^2
Quando x 0, esse valor também tende a 0.

Passo 6

Por último, vamos considerar um caminho não linear, como y = x^n, onde n é positivo. Substituindo:
3 x (x^n)^2x^2 + x^2n = 3 x^2n + 1x^2(1 + x^2n - 2) = 3 x^2n - 11 + x^2n - 2
Para n >= 1, quando x 0, o numerador tende a 0, então o limite é 0.

Resposta

O limite é 0.

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