Resolva as equações: r y'' - 6 y' + 9 y = e^(3 x) sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e uma solução particular que leva em conta o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, escrevemos a equação característica:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática , encontramos as raízes:
Temos uma raiz dupla .

Passo 4

Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação não homogênea:
Como o lado direito é , vamos supor uma solução da forma:

Passo 6

Derivando :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 7

Substituindo , e na equação diferencial:
Após simplificar, obtemos uma equação em termos de cos(x) e sen x. Igualando os coeficientes, encontramos os valores de A e B.

Passo 8

Mas aqui, notamos que já está na solução homogênea. Para evitar a duplicação, multiplicamos nossa hipótese por x:

Passo 9

Repetindo as derivadas e substituindo novamente na equação diferencial, resolvemos para A e B. Após os cálculos, encontramos:

Passo 10

Portanto, a solução particular é:

Passo 11

Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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