Resolva as equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, precisamos encontrar a solução geral que é a soma da solução da equação homogênea (sem o termo do lado direito) e uma solução particular que leva em conta o termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, escrevemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
, encontramos as raízes:
Temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Como a raiz é dupla, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação não homogênea:
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução da forma:
Passo 6
Derivando
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 7
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Após simplificar, obtemos uma equação em termos de
e
. Igualando os coeficientes, encontramos os valores de
e
.
Passo 8
Mas aqui, notamos que
já está na solução homogênea. Para evitar a duplicação, multiplicamos nossa hipótese por
:
Passo 9
Repetindo as derivadas e substituindo novamente na equação diferencial, resolvemos para
e
. Após os cálculos, encontramos:
Passo 10
Portanto, a solução particular é:
Passo 11
Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo do caminho descrito.
de
a
pelo segmento de reta ligando esses dois pontos.