Calcule a integral de linha em que é a curva dada pela função vetorial .
é a curva interseção da esfera com o plano , percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção da esfera com o plano , percorrida no sentido anti-horário visto da origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva . Ela é onde a esfera de raio 2 (já que ) corta o plano . Para encontrar essa interseção, substituímos na equação da esfera:
Isso representa um círculo no plano com raio .

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a curva . Como é um círculo no plano , podemos usar parâmetros trigonométricos:
Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário quando visto da origem.

Passo 4

Vamos derivar em relação a para obter :

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização de na função vetor :

Passo 6

Calculamos o produto escalar :

Passo 7

Simplificamos a expressão:
Observamos que alguns termos se cancelam ou se combinam:

Passo 8

Integramos de a :
Podemos separar as integrais:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
Sabemos que e (integrais de funções ímpares sobre intervalos completos de período são zero).
Segunda integral:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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