Calcule a integral de linha integralC F cdot d r em que C é a curva dada pela função vetorial r(t).
(c) F(x, y, z)=(x^2-y^2, z^2-x^2, y^2-z^2), C é a curva interseção da esfera x^2+y^2+z^2=4 com o plano y=1, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde . A curva é a interseção da esfera com o plano , percorrida no sentido anti-horário visto da origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender qual é a curva x^2 + (1)^2 + z^2 = 4 implies x^2 + z^2 = 3 . Ela é onde a esfera de raio 2 (já que ) corta o plano . Para encontrar essa interseção, substituímos na equação da esfera:
Isso representa um círculo no plano com raio .

Passo 3

Agora, precisamos parametrizar a curva r(t) = ( raiz3 cos t, 1, raiz3 sin t ), t in [0, 2pi] . Como é um círculo no plano , podemos usar parâmetros trigonométricos:
Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário quando visto da origem.

Passo 4

Vamos derivar drdt = ( -raiz3 sin t, 0, raiz3 cos t ) implies dr = ( -raiz3 sin t, 0, raiz3 cos t ) dt em relação a para obter :

Passo 5

Agora, substituímos a parametrização de F(r(t)) = ( (raiz3 cos t)^2 - (1)^2, (raiz3 sin t)^2 - (raiz3 cos t)^2, (1)^2 - (raiz3 sin t)^2 ) na função vetor = ( 3 cos^2 t - 1, 3 sin^2 t - 3 cos^2 t, 1 - 3 sin^2 t ) :

Passo 6

Calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot dr = (3 cos^2 t - 1)(-raiz3 sin t) + (3 sin^2 t - 3 cos^2 t)(0) + (1 - 3 sin^2 t)(raiz3 cos t) :
= -raiz3 sin t (3 cos^2 t - 1) + raiz3 cos t (1 - 3 sin^2 t)

Passo 7

Simplificamos a expressão:
= -raiz3 sin t cdot 3 cos^2 t + raiz3 sin t + raiz3 cos t - 3 raiz3 cos t sin^2 t
Observamos que alguns termos se cancelam ou se combinam:
= raiz3 sin t ( -3 cos^2 t + 1 ) + raiz3 cos t (1 - 3 sin^2 t )

Passo 8

Integramos de integral0^2pi [ raiz3 sin t ( -3 cos^2 t + 1 ) + raiz3 cos t (1 - 3 sin^2 t ) ] dt a raiz3 [ integral0^2pi sin t (-3 cos^2 t + 1) dt + integral0^2pi cos t (1 - 3 sin^2 t ) dt ] :
Podemos separar as integrais:

Passo 9

Calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral0^2pi sin t (-3 cos^2 t + 1) dt = -3 integral0^2pi sin t cos^2 t dt + integral0^2pi sin t dt
Sabemos que integral0^2pi cos t (1 - 3 sin^2 t ) dt = integral0^2pi cos t dt - 3 integral0^2pi cos t sin^2 t dt = 0 - 0 = 0 e (integrais de funções ímpares sobre intervalos completos de período são zero).
Segunda integral:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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