Calcule a integral de linha
em que
é a curva dada pela função vetorial
.
é a curva interseção da esfera
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário quando vista da origem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é a interseção da esfera
com o plano
, percorrida no sentido anti-horário visto da origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a curva
. Ela é onde a esfera de raio 2 (já que
) corta o plano
. Para encontrar essa interseção, substituímos
na equação da esfera:
Isso representa um círculo no plano
com raio
.
Passo 3
Agora, precisamos parametrizar a curva
. Como é um círculo no plano
, podemos usar parâmetros trigonométricos:
Essa parametrização percorre o círculo no sentido anti-horário quando visto da origem.
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
para obter
:
Passo 5
Agora, substituímos a parametrização de
na função vetor
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Observamos que alguns termos se cancelam ou se combinam:
Passo 8
Integramos de
a
:
Podemos separar as integrais:
Passo 9
Calculamos cada integral separadamente.
Primeira integral:
Sabemos que
e
(integrais de funções ímpares sobre intervalos completos de período são zero).
Segunda integral:
Resposta
A integral de linha
é igual a
.
Exercícios relacionados
$(a) Mostre que um campo de força constante realiza trabalho nulo sobre uma partícula que dá uma única volta completa uniformemente na circunferência
.
Calcule a integral de linha em que
é a curva dada.
é a curva obtida como interseção do semiplano
, com o parabolóide
.
Resolver o seguinte sistema de equações não linear, usando o método Newton Modificado com erro
ou duas iterações:
Resolva o sistema de equações diferenciais lineares de
ordem homogêneo