Calcule a integral de linha de uma curva fechada C descrita pela função x^2/4 + y^2/9 = 1, onde está delimita no plano cartesiano uma região D , e com atuação do campo vetorial F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) = (-y/2, x/2) sobre a mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma curva fechada que é uma elipse dada por . A gente vai usar Campos Vetoriais e Teorema de Green para resolver isso. Para começar, vamos entender o que cada parte significa e o que precisamos saber.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva é uma elipse no plano cartesiano.

Passo 3

O campo vetorial dado é . Isso significa que em cada ponto do plano, o campo tem uma componente horizontal de e uma componente vertical de .

Passo 4

Agora, para facilitar a resolução, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui, e .

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Então, a integral dupla fica:
Essa integral representa a área da região delimitada pela elipse.

Passo 7

Sabemos que a área de uma elipse é dada por , onde e são os semi-eixos maiores e menores. No nosso caso, a equação da elipse é , então:

Passo 8

Calculando a área:
Á

Resposta

Portanto, a integral de linha da curva fechada sobre o campo vetorial é .

Exercícios relacionados