Calcule a integral de linha de uma curva fechada
descrita pela função
, onde está delimita no plano cartesiano uma região D , e com atuação do campo vetorial
sobre a mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma curva fechada
que é uma elipse dada por
. A gente vai usar Campos Vetoriais e Teorema de Green para resolver isso. Para começar, vamos entender o que cada parte significa e o que precisamos saber.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores ao longo de uma curva. No nosso caso, a curva
é uma elipse no plano cartesiano.
Passo 3
O campo vetorial dado é
. Isso significa que em cada ponto
do plano, o campo tem uma componente horizontal de
e uma componente vertical de
.
Passo 4
Agora, para facilitar a resolução, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema relaciona a integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região
delimitada por essa curva. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
e
.
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Então, a integral dupla fica:
Essa integral representa a área da região
delimitada pela elipse.
Passo 7
Sabemos que a área de uma elipse é dada por
, onde
e
são os semi-eixos maiores e menores. No nosso caso, a equação da elipse é
, então:
Passo 8
Calculando a área:
Resposta
Portanto, a integral de linha da curva fechada
sobre o campo vetorial
é
.