Considere a região R limitada por y = x^2, y = 2 x. Escreva a região R como uma região do Tipo II.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever a região R, que é limitada pelas curvas e , como uma região do Tipo II. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente define áreas para integrar em duas dimensões. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se cruzam e como expressar os limites de integração de forma que para cada valor de y, x varia entre duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação . Vamos lá!

Passo 3

Resolvendo :
Então, as soluções são e . Isso quer dizer que as curvas se cruzam nos pontos onde e .

Passo 4

Agora, vamos determinar os valores de y correspondentes a esses x. Substituindo na equação :
  • Para :
  • Para :
Então, y vai variar de 0 a 4.

Passo 5

Como queremos escrever a região como Tipo II, precisamos expressar x em função de y. Vamos resolver as equações das curvas para x:
  • Da equação :
  • Da equação :
Então, para cada y entre 0 e 4, x varia da curva da esquerda até a da direita .

Passo 6

Agora, juntando tudo, a região R como uma região do Tipo II fica assim:

Resposta

A região R como uma região do Tipo II é:

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