Considere a região R limitada por
. Escreva a região R como uma região do Tipo II.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que escrever a região R, que é limitada pelas curvas
e
, como uma região do Tipo II. Isso faz parte do cálculo integral, onde a gente define áreas para integrar em duas dimensões. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se cruzam e como expressar os limites de integração de forma que para cada valor de y, x varia entre duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação
. Vamos lá!
Passo 3
Resolvendo
:
Então, as soluções são
e
. Isso quer dizer que as curvas se cruzam nos pontos onde
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os valores de y correspondentes a esses x. Substituindo na equação
:
- Para
: - Para
:
Então, y vai variar de 0 a 4.
Passo 5
Como queremos escrever a região como Tipo II, precisamos expressar x em função de y. Vamos resolver as equações das curvas para x:
- Da equação
:
- Da equação
:
Então, para cada y entre 0 e 4, x varia da curva da esquerda
até a da direita
.
Passo 6
Agora, juntando tudo, a região R como uma região do Tipo II fica assim:
Resposta
A região R como uma região do Tipo II é: