Mostre que as seguintes séries são convergentes:
Passo 1
Então, a gente tem uma série infinita que é assim:
. O que a gente precisa mostrar é que essa série converge, ou seja, que ela tem um valor finito quando somamos todos os termos infinitos. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência, como o Teste da Razão, que é bem útil quando a gente tem termos envolvendo potências e fatorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar se uma série converge ou não, analisando o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é
. Agora, vamos calcular a razão entre o termo
e
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando
tende ao infinito:
Passo 6
Como o limite da razão é
, que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série
converge.
Resposta
A série
é convergente.