Mostre que as seguintes séries são convergentes: sumn=0^infty n^33^n

Passo 1

Então, a gente tem uma série infinita que é assim: . O que a gente precisa mostrar é que essa série converge, ou seja, que ela tem um valor finito quando somamos todos os termos infinitos. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos de séries e testes de convergência, como o Teste da Razão, que é bem útil quando a gente tem termos envolvendo potências e fatorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a verificar se uma série converge ou não, analisando o limite da razão entre termos consecutivos. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série. Primeiro, identificamos o termo geral da série, que é an+1an = (n+1)^33^n+1 times 3^nn^3 = (n+1)^33 times n^3 . Agora, vamos calcular a razão entre o termo e :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão:
an+1an = (n+1)^33n^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 13n^3 = 13 (1 + 3n + 3n^2 + 1n^3)

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty an+1an = 13 (1 + 0 + 0 + 0) = 13 tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite da razão é , que é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série é convergente.

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