Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=y cos z e C: r(t)=(3 sen t, 3 cos t, t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha dada por:
integralC f(x, y, z) , ds
onde a função r(t) = (3 sin t, , 3 cos t, , t), 0 <= t <= pi e a curva é parametrizada por:
Para resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar a integral de linha e calcular o elemento de arco ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela soma os valores da função ao longo de uma curva . Para parametrizar, usamos que descreve a posição na curva em função de um parâmetro .

Passo 3

Vamos calcular r'(t) = ( ddt[3 sin t], , ddt[3 cos t], , ddt[t] ) = (3 cos t, , -3 sin t, , 1) , o elemento de arco. Para isso, pegamos a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos o módulo de |r'(t)| = raiz(3 cos t)^2 + (-3 sin t)^2 + (1)^2 = raiz9 cos^2 t + 9 sin^2 t + 1 , que nos dá |r'(t)| = raiz9(cos^2 t + sin^2 t) + 1 = raiz9 cdot 1 + 1 = raiz10 :
Simplificando:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos f(r(t)) = y cos z = 3 cos t cdot cos t = 3 cos^2 t na parametrização:

Passo 6

A integral de linha fica então:
integralC f(x, y, z) , ds = integral0^pi 3 cos^2 t cdot raiz10 , dt = 3 raiz10 integral0^pi cos^2 t , dt

Passo 7

Para resolver cos^2 t = 1 + cos(2t)2 , usamos a identidade trigonométrica:
integral0^pi cos^2 t , dt = integral0^pi 1 + cos(2t)2 , dt = 12 [ t + sin(2t)2 ]0^pi
Então:
12 [ pi + sin(2pi)2 - 0 - sin(0)2 ] = pi2
Avaliação nos limites:

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
integralC f(x, y, z) , ds = 3 pi raiz102

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