Calcule a integral de linha dada:
, onde
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha dada por:
onde a função
e a curva
é parametrizada por:
Para resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar a integral de linha e calcular o elemento de arco
ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela soma os valores da função
ao longo de uma curva
. Para parametrizar, usamos
que descreve a posição na curva em função de um parâmetro
.
Passo 3
Vamos calcular
, o elemento de arco. Para isso, pegamos a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos o módulo de
, que nos dá
:
Simplificando:
Então,
.
Passo 5
Agora, substituímos
na parametrização:
Passo 6
A integral de linha fica então:
Passo 7
Para resolver
, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Avaliação nos limites:
Resposta
Portanto, a integral de linha é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha dada:
, onde
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Determine a massa total e o centro de massa de uma arame fino com o formato da curva cuja parametrização é
, sen
, se a densidade linear em qualquer ponto for igual ao quadrado da distância do ponto à origem.
Calcule e justifique: