Calcule a integral de linha dada: integralC f(x, y, z) d s, onde f(x, y, z)=x y cos z e C: r(t)=(sen t, cos t, t), 0 <= t <= 3 pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha, que é basicamente somar os valores de uma função ao longo de um caminho específico no espaço. A função que vamos usar é e o caminho é dado pela curva parametrizada por com variando de a . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral ao longo dessa trajetória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para calcular a integral de linha f(r(t)) = sin t cdot cos t cdot cos t = sin t cdot cos^2 t , precisamos expressar a função em termos do parâmetro . Nossa curva nos dá , e . Substituindo esses na função, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar r,'(t) = (cos t, -sin t, 1) , que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de | r,'(t) | = raiz (cos t)^2 + (-sin t)^2 + 1^2 = raiz cos^2 t + sin^2 t + 1 = raiz1 + 1 = raiz2 em relação a :
O comprimento de é:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos integralC f(x, y, z) , ds = integral0^3pi sin t cdot cos^2 t cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^3pi sin t cdot cos^2 t , dt e na integral original:
Vamos resolver essa integral usando uma substituição simples.

Passo 5

Fazemos a substituição:
u = cos t Rightarrow du = -sin t , dt Rightarrow -du = sin t , dt
Substituindo na integral:
raiz2 integralu(0)^u(3pi) u^2 (-du) = raiz2 integralcos(0)^cos(3pi) u^2 , du = raiz2 integral1^-1 u^2 , du
Como os limites estão na ordem invertida, trocamos os limites e mudamos o sinal:
raiz2 integral-1^1 u^2 , du

Passo 6

Calculando a integral:
integral-1^1 u^2 , du = [ u^33 ]-1^1 = 1^33 - (-1)^33 = 13 - ( -13 ) = 23
Multiplicando pelo raiz2 cdot 23 = 2raiz23 :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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