Calcule a integral de linha dada:
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra calcular uma integral de linha, que é basicamente somar os valores de uma função ao longo de um caminho específico no espaço. A função que vamos usar é
e o caminho
é dado pela curva parametrizada por
com
variando de
a
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral ao longo dessa trajetória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para calcular a integral de linha
, precisamos expressar a função
em termos do parâmetro
. Nossa curva
nos dá
,
e
. Substituindo esses na função, temos:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
, que é o elemento de comprimento ao longo da curva. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
O comprimento de
é:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Vamos resolver essa integral usando uma substituição simples.
Passo 5
Fazemos a substituição:
Substituindo na integral:
Como os limites estão na ordem invertida, trocamos os limites e mudamos o sinal:
Passo 6
Calculando a integral:
Multiplicando pelo
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha dada:
, em que
e
.
Suponha que um arame fino tem o formato da curva cuja parametrização é
,
. Suponha, também, que a densidade linear do fio é uma constante
. Determine os momentos de inércia desse arame em relação oas eixos
e
.
Calcule a integral de linha dada:
, onde
e
.
Determine a massa total e o centro de massa de uma arame fino com o formato da curva cuja parametrização é
, sen
, se a densidade linear em qualquer ponto for igual ao quadrado da distância do ponto à origem.