Determine a massa total e o centro de massa de uma arame fino com o formato da curva cuja parametrização é , sen , se a densidade linear em qualquer ponto for igual ao quadrado da distância do ponto à origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a massa total e o centro de massa de um arame fino que segue a curva parametrizada por para . A densidade linear nesse arame é igual ao quadrado da distância de cada ponto à origem. Vamos usar conceitos de Cálculo Vetorial, especificamente integrais ao longo de curvas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a expressão da densidade linear . A densidade é o quadrado da distância do ponto à origem. A distância é dada por:
Sabemos que , então:
Portanto, a densidade linear é:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o elemento de comprimento da curva. Para isso, derivamos a parametrização :
O comprimento do vetor derivada é:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular a massa total do arame. A massa é dada pela integral da densidade linear ao longo da curva:
Vamos resolver essa integral:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular as coordenadas do centro de massa . As fórmulas são:
Vamos calcular cada uma:
Para :
Integrando:
Então,
Logo,
Para :
Observando que a função é ímpar em relação a e o intervalo é completo, a integral resulta em zero:
Para :
De maneira semelhante, a função também é ímpar em relação a , então a integral também é zero:
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, temos que o centro de massa é:
Simplificando a expressão de :
Podemos simplificar mais dividindo numerador e denominador por :
Resposta
A massa total do arame é e o centro de massa está localizado em .