Calcule a integral de linha diretamente e, em seguida, pelo teorema de Green.
onde
é o caminho fechado formado por
e
, no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha de duas maneiras: diretamente e usando o Teorema de Green. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar o caminho
, e aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla. Pronto? Então, vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente. A integral dada é:
O caminho
é fechado e formado pelas curvas
e
, percorridas no sentido anti-horário. Para calcular a integral diretamente, precisamos dividir o caminho em duas partes: de
para
.
Passo 3
Vamos parametrizar cada parte do caminho
. Primeiro, de
a
.
Primeira parte (
): de
a
, onde
.
Aqui, podemos usar
como parâmetro:
-
, onde varia de 0 a 1. - Então,
. - Derivadas:
, .
Passo 4
Segunda parte (
): de
a
, onde
.
Novamente, usamos
como parâmetro, mas agora vamos de 1 a 0:
-
, onde varia de 1 a 0. -
. - Derivadas:
, .
Passo 5
Agora, calculamos a integral em cada parte.
Integral em
:
Calculando:
Somando as duas partes:
Passo 6
Integral em
:
Calculando:
Somando as duas partes:
Passo 7
Agora, somamos as integrais das duas partes do caminho
:
Portanto, a integral de linha diretamente é igual a zero.
Passo 8
Vamos agora calcular a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
.
Passo 9
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Então,
Passo 10
Agora, aplicando o Teorema de Green:
Resposta
Ambas as formas de calcular a integral de linha resultam em 0.