Calcule a integral de linha diretamente e, em seguida, pelo teorema de Green.
integralC x d x+y^2 d y
onde C é o caminho fechado formado por y=x^2 e y=x, no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral de linha de duas maneiras: diretamente e usando o Teorema de Green. Vamos precisar entender o que é uma integral de linha, como parametrizar o caminho , e aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla. Pronto? Então, vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente. A integral dada é:
integralC x , dx + y^2 , dy
O caminho é fechado e formado pelas curvas e , percorridas no sentido anti-horário. Para calcular a integral diretamente, precisamos dividir o caminho em duas partes: de para .

Passo 3

Vamos parametrizar cada parte do caminho . Primeiro, de a .
Primeira parte ( ): de a , onde .
Aqui, podemos usar como parâmetro:
  • , onde varia de 0 a 1.
  • Então, .
  • Derivadas: , .

Passo 4

Segunda parte ( ): de a , onde .
Novamente, usamos como parâmetro, mas agora vamos de 1 a 0:
  • , onde varia de 1 a 0.
  • .
  • Derivadas: , .

Passo 5

Agora, calculamos a integral em cada parte.
Integral em integralC1 x , dx + y^2 , dy = integral0^1 t cdot dt + (t^2)^2 cdot 2t , dt = integral0^1 t , dt + integral0^1 2t^5 , dt :
integral0^1 t , dt = [t^22]0^1 = 12
Calculando:
integral0^1 2t^5 , dt = 2 [t^66]0^1 = 26 = 13
12 + 13 = 56
Somando as duas partes:

Passo 6

Integral em integralC2 x , dx + y^2 , dy = integral1^0 t cdot dt + t^2 cdot dt = integral1^0 t , dt + integral1^0 t^2 , dt :
integral1^0 t , dt = -integral0^1 t , dt = -12
Calculando:
integral1^0 t^2 , dt = -integral0^1 t^2 , dt = -13
-12 - 13 = -56
Somando as duas partes:

Passo 7

Agora, somamos as integrais das duas partes do caminho 56 + (-56) = 0 :
Portanto, a integral de linha diretamente é igual a zero.

Passo 8

Vamos agora calcular a mesma integral usando o Teorema de Green. Esse teorema relaciona uma integral de linha ao redor de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
No nosso caso, e .

Passo 9

Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial y^2partial x = 0
partial Ppartial y = partial xpartial y = 0
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0

Passo 10

Agora, aplicando o Teorema de Green:
ointC x , dx + y^2 , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0

Resposta

Ambas as formas de calcular a integral de linha resultam em 0.

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