Seja
. Determine as derivadas parciais mistas
e
e verifique se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar as derivadas parciais mistas de uma função, especificamente
e
, da função
. A matéria que estamos mexendo aqui é o cálculo diferencial, mais precisamente as derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Para fazer isso, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
Aderivando:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Aqui, tratamos
como constante.
Aderivando:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamaremos de
. Desta vez, tratamos
como uma constante e derivamos
em relação a
.
Aderivando:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
para encontrar
. Aqui, tratamos
como constante.
Aderivando:
Resposta
As derivadas parciais mistas são iguais: