Seja f(x, y) = x^3 * y^2. Determine as derivadas parciais mistas fxy e f_yx e verifique se fxy = fyx.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar as derivadas parciais mistas de uma função, especificamente e , da função . A matéria que estamos mexendo aqui é o cálculo diferencial, mais precisamente as derivadas parciais. Para isso, vamos precisar saber como derivar em relação a uma variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Para fazer isso, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
Aderivando:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Aqui, tratamos como constante.
Aderivando:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamaremos de . Desta vez, tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
Aderivando:

Passo 5

Agora, derivamos em relação a para encontrar . Aqui, tratamos como constante.
Aderivando:

Resposta

As derivadas parciais mistas são iguais:

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