Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(f) O arco da circunferência
.
(f) O arco da circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização diferenciável para o arco de uma circunferência dada pela equação
. Isso significa que vamos expressar as coordenadas
e
em função de um parâmetro, que geralmente chamamos de
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de trigonometria e funções diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação
representa uma circunferência com raio
(porque
) e centrada na origem do sistema de coordenadas (0,0). Para parametrizar essa circunferência, usamos funções trigonométricas porque elas naturalmente descrevem movimentos circulares.
Passo 3
A parametrização padrão para uma circunferência de raio
é dada por:
onde
é o parâmetro que representa o ângulo, geralmente variando de
a
para uma volta completa.
Passo 4
No nosso caso, o raio
. Então, substituindo na fórmula, temos:
Essas funções são diferenciáveis porque as funções seno e cosseno são suaves e têm derivadas bem definidas em todo o domínio.
Passo 5
Portanto, a parametrização diferenciável para o arco da circunferência
é dada por:
Isso cobre toda a circunferência uma vez, e cada ponto da circunferência é alcançado exatamente uma vez conforme
varia de
a
.
Resposta
A parametrização diferenciável para o arco da circunferência
é: