Obtenha uma parametrização diferenciável para as seguintes curvas:
(f) O arco da circunferência x^2 + y^2 = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização diferenciável para o arco de uma circunferência dada pela equação . Isso significa que vamos expressar as coordenadas e em função de um parâmetro, que geralmente chamamos de . Para isso, vamos precisar usar conceitos de trigonometria e funções diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação representa uma circunferência com raio (porque ) e centrada na origem do sistema de coordenadas (0,0). Para parametrizar essa circunferência, usamos funções trigonométricas porque elas naturalmente descrevem movimentos circulares.

Passo 3

A parametrização padrão para uma circunferência de raio é dada por:
onde é o parâmetro que representa o ângulo, geralmente variando de a para uma volta completa.

Passo 4

No nosso caso, o raio . Então, substituindo na fórmula, temos:
Essas funções são diferenciáveis porque as funções seno e cosseno são suaves e têm derivadas bem definidas em todo o domínio.

Passo 5

Portanto, a parametrização diferenciável para o arco da circunferência é dada por:
Isso cobre toda a circunferência uma vez, e cada ponto da circunferência é alcançado exatamente uma vez conforme varia de a .

Resposta

A parametrização diferenciável para o arco da circunferência é:

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