Mostre que integralC(1+2 x y+ln x) d x+x^2 d y é independente do caminho e calcule seu valor onde C é dado por alpha(t)=(1+cos (t), sen(t)), com-pi2 <= t <= pi2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral de linha e precisa mostrar que ela é independente do caminho. Além disso, temos que calcular o valor dessa integral para a curva definida por , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e formas diferenciais exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a integral é independente do caminho. Isso acontece se o campo vetorial associado for conservativo. Em termos matemáticos, se tivermos uma forma diferencial , ela é exata se .

Passo 3

Vamos identificar M = 1 + 2xy + ln x N = x^2 e partial Mpartial y = 2x partial Npartial x = 2x :
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como , a forma diferencial é exata. Isso confirma que a integral é independente do caminho.

Passo 4

Agora que sabemos que a integral é independente do caminho, podemos encontrar uma função potencial df = M,dx + N,dy tal que:
f(x, y) = integral (1 + 2xy + ln x) , dx = x + x^2y + xln x + g(y)
Para encontrar partial fpartial y = x^2 + g'(y) = x^2 , integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de . Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que , então é uma constante. Podemos considerar sem perda de generalidade.

Passo 5

Então, a função potencial é:
f(x, y) = x + x^2y + xln x
Para calcular a integral, basta avaliar nos pontos finais da curva .

Passo 6

Vamos identificar os pontos inicial e final da curva alpha(-pi2) = (1 + cos(-pi2), sen(-pi2)) = (1 + 0, -1) = (1, -1) alpha(pi2) = (1 + cos(pi2), sen(pi2)) = (1 + 0, 1) = (1, 1) :
Portanto, os pontos são e .

Passo 7

Calculamos f(1, 1) = 1 + (1)^2(1) + 1ln 1 = 1 + 1 + 0 = 2 f(1, -1) = 1 + (1)^2(-1) + 1ln 1 = 1 - 1 + 0 = 0 nesses pontos:
integralC (1 + 2xy + ln x) , dx + x^2 , dy = f(1, 1) - f(1, -1) = 2 - 0 = 2
A integral é a diferença entre esses valores:

Resposta

O valor da integral é .

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