Mostre que
é independente do caminho e calcule seu valor onde
é dado por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma integral de linha
e precisa mostrar que ela é independente do caminho. Além disso, temos que calcular o valor dessa integral para a curva
definida por , onde
varia de
a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e formas diferenciais exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a integral é independente do caminho. Isso acontece se o campo vetorial associado for conservativo. Em termos matemáticos, se tivermos uma forma diferencial
, ela é exata se
.
Passo 3
Vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a forma diferencial é exata. Isso confirma que a integral é independente do caminho.
Passo 4
Agora que sabemos que a integral é independente do caminho, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Para encontrar
, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
. Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos considerar
sem perda de generalidade.
Passo 5
Então, a função potencial é:
Para calcular a integral, basta avaliar
nos pontos finais da curva
.
Passo 6
Vamos identificar os pontos inicial e final da curva
:
Portanto, os pontos são
e
.
Passo 7
Calculamos
nesses pontos:
A integral é a diferença entre esses valores:
Resposta
O valor da integral é
.