Calcule o trabalho realizado pelo campo
ao longo da curva
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva definida por
para
de
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha no cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos parametrizar a curva . Precisamos calcular a derivada
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o campo vetorial
ao longo da curva, ou seja,
:
Simplificando o denominador, sabemos que , então:
Passo 5
Vamos agora calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando:
Passo 6
Agora, podemos integrar essa expressão de
a
para encontrar o trabalho:
Passo 7
Para resolver essa integral, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
.
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Integrando, temos:
Como
, então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo é