Calcule o trabalho realizado pelo campo
F(x, y, z) = k / (x^2 + y^2 + z^2) (x i + y j + z k)
ao longo da curva alpha : [0, 2 pi] -> R^3 dada por alpha(t) = (cos(t), sen(t), t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o enunciado está pedindo. Temos que calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva definida por
para de até . Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais de linha no cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Aqui, e .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva . Precisamos calcular a derivada :

Passo 4

Agora, vamos calcular o campo vetorial ao longo da curva, ou seja, :
Simplificando o denominador, sabemos que , então:

Passo 5

Vamos agora calcular o produto escalar :
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 6

Agora, podemos integrar essa expressão de a para encontrar o trabalho:

Passo 7

Para resolver essa integral, fazemos a substituição , então , ou seja, .
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Integrando, temos:
Como , então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo é

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