Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
é o triângulo com vértices
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha da função
ao redor de um triângulo cujos vértices são
,
e
. Vamos resolver isso de duas maneiras:
(a) calculando diretamente a integral ao longo de cada lado do triângulo, e
(b) utilizando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo.
(a) calculando diretamente a integral ao longo de cada lado do triângulo, e
(b) utilizando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo.
Passo 2
Método (a): Cálculo Direto
Primeiro, vamos dividir o triângulo em três segmentos:
- De
a — chamada de . - De
a — chamada de . - De
a — chamada de .
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento
: de
a
Para parametrizar esse segmento, podemos definir
e
, onde
varia de 0 a 1. Assim:
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 4
Segmento
: de
a
Aqui,
é constante e
varia de 1 a 0. Vamos parametrizar com
, onde
varia de 0 a 1. Assim:
Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 5
Segmento
: de
a
Neste segmento,
é constante e
varia de 1 a 0. Podemos parametrizar com
, onde
varia de 0 a 1. Assim:
Substituindo na integral:
Ou seja, a integral em
é zero.
Passo 6
Somando as integrais dos três segmentos:
Passo 7
Método (b): Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green estabelece que:
onde
é a região delimitada por
.
No nosso caso,
e
.
Calculando as derivadas parciais:
Portanto:
Agora, definimos os limites de integração para a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
.
Para
variando de 0 a 1,
varia de
a 1. Assim:
Integrando em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
Portanto, a integral de linha
ao longo do triângulo
é
, tanto pelo cálculo direto quanto pelo Teorema de Green.
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, onde
é a curva
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e
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e
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,
consiste no arco da parábola
de
a
seguido pelo segmento de reta de
a