Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC x d x-x^2 y^2 d y,
C é o triângulo com vértices (0,0),(1,1) e (0,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha da função ao redor de um triângulo cujos vértices são , e . Vamos resolver isso de duas maneiras:
(a) calculando diretamente a integral ao longo de cada lado do triângulo, e
(b) utilizando o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área do triângulo.

Passo 2

Método (a): Cálculo Direto
Primeiro, vamos dividir o triângulo em três segmentos:
  1. De a — chamada de .
  2. De a — chamada de .
  3. De a — chamada de .
Vamos calcular a integral em cada segmento e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento dx = dt e dy = dt : de integralC1 x , dx - x^2 y^2 , dy = integral0^1 t cdot dt - t^2 cdot t^2 cdot dt = integral0^1 (t - t^4) , dt a integral0^1 t , dt = [ t^22 ]0^1 = 12
Para parametrizar esse segmento, podemos definir integral0^1 t^4 , dt = [ t^55 ]0^1 = 15 e Integral em C1 = 12 - 15 = 310 , onde varia de 0 a 1. Assim:
Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 4

Segmento dx = -dt e dy = 0 : de integralC2 x , dx - x^2 y^2 , dy = integral0^1 (1 - t) cdot (-dt) - (1 - t)^2 cdot 1^2 cdot 0 = -integral0^1 (1 - t) , dt a -integral0^1 (1 - t) , dt = -[ t - t^22 ]0^1 = -(1 - 12) = -12
Aqui, é constante e varia de 1 a 0. Vamos parametrizar com , onde varia de 0 a 1. Assim:
Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 5

Segmento dx = 0 e dy = -dt : de integralC3 x , dx - x^2 y^2 , dy = integral0^1 0 cdot 0 - 0^2 cdot y^2 cdot (-dt) = 0 a
Neste segmento, é constante e varia de 1 a 0. Podemos parametrizar com , onde varia de 0 a 1. Assim:
Substituindo na integral:
Ou seja, a integral em é zero.

Passo 6

Somando as integrais dos três segmentos:
ointC x , dx - x^2 y^2 , dy = 310 - 12 + 0 = -15

Passo 7

Método (b): Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green estabelece que:
ointC M , dx + N , dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) , dA
onde partial Npartial x = partialpartial x (-x^2 y^2) = -2x y^2 é a região delimitada por partial Mpartial y = partialpartial y (x) = 0 .
No nosso caso, ointC x , dx - x^2 y^2 , dy = integral duplaD (-2x y^2) , dA = -2 integral duplaD x y^2 , dA e -2 integral0^1 integralx^1 x y^2 , dy , dx .
Calculando as derivadas parciais:
integralx^1 x y^2 , dy = x [ y^33 ]x^1 = x ( 13 - x^33 ) = x3 (1 - x^3)
-2 integral0^1 x3 (1 - x^3) , dx = -23 integral0^1 (x - x^4) , dx
Portanto:
= -23 [ x^22 - x^55 ]0^1 = -23 ( 12 - 15 ) = -23 cdot 310 = -15
Agora, definimos os limites de integração para a região , que é o triângulo com vértices em , e .
Para variando de 0 a 1, varia de a 1. Assim:
Integrando em relação a :
Agora, integramos em relação a :

Resposta

Portanto, a integral de linha ao longo do triângulo é , tanto pelo cálculo direto quanto pelo Teorema de Green.

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