Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
consiste no arco da parábola
de
a
seguido pelo segmento de reta de
a
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha por dois métodos: diretamente e usando o Teorema de Green. A integral que a gente vai calcular é
. A curva
é formada por duas partes: primeiro, o arco da parábola
indo de
até
, e depois, o segmento de reta de
de volta para
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha de forma direta e também como aplicar o Teorema de Green.
Passo 2
Vamos começar resolvendo a integral diretamente. Isso significa que a gente vai parametrizar cada parte da curva
e calcular a integral em cada trecho.
Primeiro, vamos parametrizar a parábola
de
a
. Podemos usar
, onde
varia de 0 a 1. Então,
. As derivadas são
e
.
Agora, substituímos na integral:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, vamos parametrizar o segmento de reta de
a
. Podemos usar
, com
variando de 0 a 1. Então,
. As derivadas são
e
.
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando:
Passo 4
Agora, somamos as duas partes da integral direta:
Passo 5
Vamos agora usar o Teorema de Green para resolver a mesma integral. O Teorema de Green nos permite transformar uma integral de linha fechada ao redor de uma curva
em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. A fórmula é:
No nosso caso,
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
A integral dupla fica:
Agora, precisamos calcular a área da região
delimitada pela parábola
e pela reta
de
a
. A área é:
Então, a integral pelo Teorema de Green é:
Resposta
A integral de linha é
pelos dois métodos.
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Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
é o quadrado com vértices
e
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
é o triângulo com vértices
e
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
consiste no arco da parábola
de
a
e o segmentos de reta de
a
e de
a
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o quadrado com vértices