Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC(x+2 y) d x+(x-2 y) d y,
C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(1,1) seguido pelo segmento de reta de (1,1) a (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha por dois métodos: diretamente e usando o Teorema de Green. A integral que a gente vai calcular é . A curva é formada por duas partes: primeiro, o arco da parábola indo de até , e depois, o segmento de reta de de volta para . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais de linha de forma direta e também como aplicar o Teorema de Green.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral diretamente. Isso significa que a gente vai parametrizar cada parte da curva integral0^1 [ (t + 2t^2) cdot 1 + (t - 2t^2) cdot 2t ] dt e calcular a integral em cada trecho.
Primeiro, vamos parametrizar a parábola (t + 2t^2) + (t cdot 2t - 2t^2 cdot 2t) = t + 2t^2 + 2t^2 - 4t^3 = t + 4t^2 - 4t^3 de integral0^1 (t + 4t^2 - 4t^3) , dt = [ 12t^2 + 43t^3 - t^4 ]0^1 = 12 + 43 - 1 = 56 a . Podemos usar , onde varia de 0 a 1. Então, . As derivadas são e .
Agora, substituímos na integral:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos parametrizar o segmento de reta de integral0^1 [ ((1 - t) + 2(1 - t)) cdot (-1) + ((1 - t) - 2(1 - t)) cdot (-1) ] dt a ((1 - t) + 2(1 - t))(-1) + ((1 - t) - 2(1 - t))(-1) = (3 - 3t)(-1) + (-1 + t)(-1) = -3 + 3t + 1 - t = -2 + 2t . Podemos usar integral0^1 (-2 + 2t) , dt = [ -2t + t^2 ]0^1 = -2 + 1 = -1 , com variando de 0 a 1. Então, . As derivadas são e .
Substituindo na integral:
Simplificando:
Integrando:

Passo 4

Agora, somamos as duas partes da integral direta:
56 + (-1) = 56 - 66 = -16

Passo 5

Vamos agora usar o Teorema de Green para resolver a mesma integral. O Teorema de Green nos permite transformar uma integral de linha fechada ao redor de uma curva ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA em uma integral dupla sobre a região partial Qpartial x = 1 e partial Ppartial y = 2 delimitada por partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 2 = -1 . A fórmula é:
integral duplaD (-1) , dA = - área de D
No nosso caso, integral0^1 (x - x^2) , dx = [ 12x^2 - 13x^3 ]0^1 = 12 - 13 = 16 e - 16 . Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
A integral dupla fica:
á
Agora, precisamos calcular a área da região delimitada pela parábola e pela reta de a . A área é:
Então, a integral pelo Teorema de Green é:

Resposta

A integral de linha é pelos dois métodos.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC x^2 y d x+x y^3 d y,
C é o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1)
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC x d x-x^2 y^2 d y,
C é o triângulo com vértices (0,0),(1,1) e (0,1)
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC(x^2+y^2) d x+2 x y d y,
C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(2,4) e o segmentos de reta de (2,4) a (0,4) e de (0,4) a (0,0)
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x^2 y d x+x y^5 d y,
C é o quadrado com vértices ( pm 1, pm 1)