Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=x^3 y i+x^4 e
C é a curva x^4+y^4=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos resolver é:
integralC F cdot d r
Onde o campo vetorial é dado por:
F(x, y) = x^3 y, i + x^4 e, j
E a curva x^4 + y^4 = 1 é definida por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região dentro da curva . Para aplicar isso, precisamos identificar as componentes e do campo vetorial .

Passo 2

Primeiro, identificamos P(x, y) = x^3 y e Q(x, y) = x^4 e :
ointC F cdot d r = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
O Teorema de Green nos diz que:
Onde é a região fechada pela curva .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^4 e) = 4x^3 e
partial Ppartial y = partialpartial y (x^3 y) = x^3
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
integral duplaD ( 4x^3 e - x^3 ) dA = integral duplaD x^3 (4e - 1) , dA

Passo 4

Observando a integral, vemos que ela envolve sobre a região definida por . Porém, essa integral resulta em zero devido à simetria da função em torno do eixo .
Isso porque é uma função ímpar em , e a região é simétrica em relação ao eixo . Assim, as contribuições positivas e negativas de se cancelam.

Resposta

Portanto, a integral de linha é:
integralC F cdot d r = 0

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