Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
é a curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos resolver é:
Onde o campo vetorial é dado por:
E a curva
é definida por:
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a região dentro da curva
. Para aplicar isso, precisamos identificar as componentes
e
do campo vetorial
.
Passo 2
Primeiro, identificamos
e
:
O Teorema de Green nos diz que:
Onde
é a região fechada pela curva
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Agora, substituímos na expressão do Teorema de Green:
Passo 4
Observando a integral, vemos que ela envolve
sobre a região
definida por
. Porém, essa integral resulta em zero devido à simetria da função
em torno do eixo
.
Isso porque
é uma função ímpar em
, e a região
é simétrica em relação ao eixo
. Assim, as contribuições positivas e negativas de
se cancelam.
Resposta
Portanto, a integral de linha é:
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é a fronteira de uma região entre os círculos
e
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é a fronteira de uma região delimitada pela parábola
e pela reta
e pela reta
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
é o triângulo com vértices
e
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
é o quadrado com vértices
e