Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green. , é o quadrado com vértices e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício propôs! A gente vai calcular de duas maneiras: primeiro, diretamente, e depois usando o Teorema de Green. O caminho é o perímetro de um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). Para isso, vamos precisar entender como parametrizar cada lado do quadrado e aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. Isso significa que vamos dividir o caminho em quatro segmentos, cada um correspondendo a um lado do quadrado, e calcular a integral em cada segmento separadamente.
Passo 3
Vamos parametrizar cada lado do quadrado:
De (0,0) a (1,0): Aqui, e varia de 0 a 1. Então, usamos e , com de 0 a 1.
De (1,0) a (1,1): Neste segmento, e varia de 0 a 1. Então, e , com de 0 a 1.
De (1,1) a (0,1): Aqui, e diminui de 1 a 0. Então, e , com de 0 a 1.
De (0,1) a (0,0): Neste último segmento, e diminui de 1 a 0. Então, e , com de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral em cada segmento:
Primeiro segmento (0,0) a (1,0):
Segundo segmento (1,0) a (1,1):
Terceiro segmento (1,1) a (0,1):
Quarto segmento (0,1) a (0,0):
Passo 5
Somando as integrais de todos os segmentos:
Passo 6
Agora, vamos usar o Teorema de Green para verificar nosso resultado. O Teorema de Green nos diz que:
Onde e .
Passo 7
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Passo 8
Agora, configuramos a integral dupla sobre a região , que é o quadrado de e :