Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC x^2 y d x+x y^3 d y,
C é o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que o exercício propôs! A gente vai calcular de duas maneiras: primeiro, diretamente, e depois usando o Teorema de Green. O caminho é o perímetro de um quadrado com vértices em (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1). Para isso, vamos precisar entender como parametrizar cada lado do quadrado e aplicar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral diretamente. Isso significa que vamos dividir o caminho em quatro segmentos, cada um correspondendo a um lado do quadrado, e calcular a integral em cada segmento separadamente.

Passo 3

Vamos parametrizar cada lado do quadrado:
  1. De (0,0) a (1,0): Aqui, e varia de 0 a 1. Então, usamos e , com de 0 a 1.
  2. De (1,0) a (1,1): Neste segmento, e varia de 0 a 1. Então, e , com de 0 a 1.
  3. De (1,1) a (0,1): Aqui, e diminui de 1 a 0. Então, e , com de 0 a 1.
  4. De (0,1) a (0,0): Neste último segmento, e diminui de 1 a 0. Então, e , com de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento:
  1. Primeiro segmento (0,0) a (1,0):
    ointC x^2 y , dx + x y^3 , dy = integral0^1 (t^2 cdot 0) , dt + integral0^1 t cdot 0^3 cdot 0 , dt = 0
  2. Segundo segmento (1,0) a (1,1):
    integral0^1 (1^2 cdot t) cdot 0 , dt + integral0^1 1 cdot t^3 cdot 1 , dt = integral0^1 t^3 , dt = [t^44]0^1 = 14
  3. Terceiro segmento (1,1) a (0,1):
    integral0^1 ((1 - t)^2 cdot 1) cdot (-1) , dt + integral0^1 (1 - t) cdot 1^3 cdot 0 , dt = -integral0^1 (1 - 2t + t^2) , dt = -[t - t^2 + t^33]0^1 = -(1 - 1 + 13) = -13
  4. Quarto segmento (0,1) a (0,0):
    integral0^1 (0^2 cdot (1 - t)) cdot 0 , dt + integral0^1 0 cdot (1 - t)^3 cdot (-1) , dt = 0

Passo 5

Somando as integrais de todos os segmentos:
0 + 14 - 13 + 0 = 14 - 13 = -112

Passo 6

Agora, vamos usar o Teorema de Green para verificar nosso resultado. O Teorema de Green nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde e .

Passo 7

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partialpartial x(x y^3) = y^3
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 y) = x^2
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = y^3 - x^2

Passo 8

Agora, configuramos a integral dupla sobre a região integral duplaD (y^3 - x^2) , dA = integral0^1 integral0^1 (y^3 - x^2) , dy , dx , que é o quadrado de e :

Passo 9

Vamos integrar em relação a integral0^1 y^3 , dy = [y^44]0^1 = 14 primeiro:
integral0^1 x^2 , dy = x^2 cdot y |0^1 = x^2
integral0^1 (14 - x^2) , dx = 14 cdot 1 - [x^33]0^1 = 14 - 13 = -112
Então,

Resposta

A integral de linha é igual a pelos dois métodos.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC x d x-x^2 y^2 d y,
C é o triângulo com vértices (0,0),(1,1) e (0,1)
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC F cdot d r, onde F(x, y)=x^3 y i+x^4 e
C é a curva x^4+y^4=1
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC(x+2 y) d x+(x-2 y) d y,
C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(1,1) seguido pelo segmento de reta de (1,1) a (0,0)
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC(x^2+y^2) d x+2 x y d y,
C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(2,4) e o segmentos de reta de (2,4) a (0,4) e de (0,4) a (0,0)