Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é a fronteira de uma região entre os círculos
e
Passo 1
Hoje vamos resolver um exercício usando o Teorema de Green. A gente tem que calcular uma integral de linha ao redor de uma região que fica entre dois círculos: um com raio 1 e outro com raio 3. Para isso, vamos transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Como a região
está entre dois círculos, fica mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Lembrando que:
E o elemento de área
em coordenadas polares é
.
Substituindo
e
na expressão
:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla fica:
Os limites de integração para
vão de 1 a 3 (raios dos círculos) e para
vão de
a
.
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Resposta
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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é a fronteira de uma região delimitada pela parábola
e pela reta
e pela reta
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
consiste no segmento de reta de
a
e na metade superior do círculo
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
é a curva
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
é o triângulo com vértices
e