Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC(x^3-y^3) d x+(x^3+y^3) d y,
C é a fronteira de uma região entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9

Passo 1

Hoje vamos resolver um exercício usando o Teorema de Green. A gente tem que calcular uma integral de linha ao redor de uma região que fica entre dois círculos: um com raio 1 e outro com raio 3. Para isso, vamos transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele conecta uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = x^3 - y^3 e Q = x^3 + y^3.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
partial Qpartial x = partialpartial x (x^3 + y^3) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y (x^3 - y^3) = -3y^2
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2

Passo 4

Como a região D está entre dois círculos, fica mais fácil trabalhar em coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta e y = r sin theta
E o elemento de área dA em coordenadas polares é r , dr , dtheta.
Substituindo x e y na expressão 3x^2 + 3y^2:
3x^2 + 3y^2 = 3(r cos theta)^2 + 3(r sin theta)^2 = 3r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = 3r^2

Passo 5

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 3r^2 cdot r , dr , dtheta = 3 integral duplaD r^3 , dr , dtheta
Os limites de integração para r vão de 1 a 3 (raios dos círculos) e para theta vão de 0 a 2pi.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
3 integral0^2pi integral1^3 r^3 , dr , dtheta
Primeiro, integramos em relação a r:
integral1^3 r^3 , dr = [ r^44 ]1^3 = 3^4 - 1^44 = 81 - 14 = 20
Agora, a integral fica:
3 times 20 times integral0^2pi dtheta = 60 times 2pi = 120pi

Resposta

120pi

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