Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
consiste no arco da parábola
de
a
e o segmentos de reta de
a
e de
a
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos calcular a integral de linha
onde
é composto por três partes:
- O arco da parábola
de a , - O segmento de reta de
a , - O segmento de reta de
a .
Vamos resolver esse exercício de duas maneiras:
(a) Diretamente, calculando a integral em cada segmento,
(b) Usando o Teorema de Green.
(a) Diretamente, calculando a integral em cada segmento,
(b) Usando o Teorema de Green.
Para isso, precisaremos de conhecimentos sobre integração de linha e o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada.
Passo 2
Método (a): Cálculo Direto
Primeiro, vamos calcular a integral diretamente em cada um dos três segmentos que compõem
.
-
Arco da Parábola
de a : -
Parametrização:
-
Derivadas:
-
Substituindo na integral:
-
Calculando as integrais:
-
Total para este segmento:
-
-
Segmento de Reta de
a : -
Parametrização:
-
Derivadas:
-
Substituindo na integral:
-
Calculando a integral:
-
-
Segmento de Reta de
a : -
Parametrização:
-
Derivadas:
-
Substituindo na integral:
-
Total para este segmento:
-
-
Somando todas as contribuições:
Passo 3
Método (b): Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green nos permite transformar uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região
delimitada por
.
O teorema afirma que:
Para nossa integral, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Substituindo no Teorema de Green:
Resposta
Zero.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
consiste no arco da parábola
de
a
seguido pelo segmento de reta de
a
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
é o quadrado com vértices
e
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o quadrado com vértices
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
Cé o triângulo com vértices e
Cé o triângulo com vértices