Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC(x^2+y^2) d x+2 x y d y,
C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(2,4) e o segmentos de reta de (2,4) a (0,4) e de (0,4) a (0,0)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Precisamos calcular a integral de linha
ointC(x^2+y^2) dx + 2xy , dy,
onde é composto por três partes:
  1. O arco da parábola de a ,
  2. O segmento de reta de a ,
  3. O segmento de reta de a .
Vamos resolver esse exercício de duas maneiras:
(a) Diretamente, calculando a integral em cada segmento,
(b) Usando o Teorema de Green.
Para isso, precisaremos de conhecimentos sobre integração de linha e o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas sobre a região delimitada.

Passo 2

Método (a): Cálculo Direto

Primeiro, vamos calcular a integral diretamente em cada um dos três segmentos que compõem x = t, y = t^2, t in [0,2] .
  1. Arco da Parábola dx = dt, dy = 2t , dt de integral0^2 (t^2 + t^4) dt + integral0^2 2t cdot t^2 cdot 2t , dt = integral0^2 (t^2 + t^4) , dt + integral0^2 4t^4 , dt a integral0^2 (t^2 + t^4) , dt = [t^33 + t^55]0^2 = (83 + 325) = 4015 + 9615 = 13615 :
    • Parametrização:
      integral0^2 4t^4 , dt = 4 [t^55]0^2 = 4 (325) = 1285 = 38415
    • Derivadas:
      13615 + 38415 = 52015 = 1043
    • Substituindo na integral:
      x = 2 - 2t, y = 4, t in [0,1]
    • Calculando as integrais:
      dx = -2 , dt, dy = 0
      integral0^1 ((2 - 2t)^2 + 4^2)(-2) , dt + integral0^1 2(2 - 2t) cdot 4 cdot 0 , dt = integral0^1 (4 - 8t + 4t^2 + 16)(-2) , dt
    • Total para este segmento:
      = -2 integral0^1 (20 - 8t + 4t^2) , dt
  2. Segmento de Reta de -2 [20t - 4t^2 + 4t^33]0^1 = -2 (20 - 4 + 43) = -2 (16 + 43) = -2 cdot 523 = -1043 a x = 0, y = 4 - 4t, t in [0,1] :
    • Parametrização:
      dx = 0, dy = -4 , dt
    • Derivadas:
      integral0^1 (0^2 + (4 - 4t)^2) cdot 0 , dt + integral0^1 2 cdot 0 cdot (4 - 4t) cdot (-4) , dt = 0 + 0 = 0
    • Substituindo na integral:
      0
      1043 - 1043 + 0 = 0
    • Calculando a integral:
  3. Segmento de Reta de a :
    • Parametrização:
    • Derivadas:
    • Substituindo na integral:
    • Total para este segmento:
  4. Somando todas as contribuições:

Passo 3

Método (b): Usando o Teorema de Green

O Teorema de Green nos permite transformar uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy delimitada por P(x,y) = x^2 + y^2, Q(x,y) = 2xy .
O teorema afirma que:
partial Qpartial x = partialpartial x (2xy) = 2y
Para nossa integral, temos:
partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 + y^2) = 2y
Vamos calcular as derivadas parciais:
integral duplaD (2y - 2y) , dx , dy = integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Substituindo no Teorema de Green:

Resposta

Zero.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC(x+2 y) d x+(x-2 y) d y,
C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(1,1) seguido pelo segmento de reta de (1,1) a (0,0)
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC x^2 y d x+x y^3 d y,
C é o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(1,1) e (0,1)
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x^2 y d x+x y^5 d y,
C é o quadrado com vértices ( pm 1, pm 1)
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x y d x+y^5 d y,
Cé o triângulo com vértices (0,0),(2,0) e (2,1)