Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x^2 y d x+x y^5 d y,
C é o quadrado com vértices ( pm 1, pm 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é , e a curva é um quadrado com vértices em . Vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaQ ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy com uma integral dupla sobre a região que está dentro de . A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x (x y^5) = y^5 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y) = x^2 :
Segundo, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema de Green, substituímos na fórmula:
ointC x^2 y , dx + x y^5 , dy = integral duplaQ (y^5 - x^2) , dx , dy
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região , que é o quadrado com vértices em .

Passo 5

Vamos configurar os limites da integral dupla. Como integral duplaQ (y^5 - x^2) , dx , dy = integral-1^1 integral-1^1 (y^5 - x^2) , dx , dy é um quadrado de a e a , temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a integral-1^1 (y^5 - x^2) , dx = integral-1^1 y^5 , dx - integral-1^1 x^2 , dx :
integral-1^1 y^5 , dx = y^5 cdot (1 - (-1)) = 2y^5
A primeira integral é:
integral-1^1 x^2 , dx = [ x^33 ]-1^1 = ( 13 - ( -13 ) ) = 23
A segunda integral é:
2y^5 - 23
Então, a integral interna resulta em:

Passo 7

Agora, vamos integrar isso em relação a integral-1^1 ( 2y^5 - 23 ) , dy = 2 integral-1^1 y^5 , dy - 23 integral-1^1 , dy :
2 integral-1^1 y^5 , dy = 2 [ y^66 ]-1^1 = 2 ( 16 - 16 ) = 0
Primeira parte:
-23 integral-1^1 , dy = -23 cdot (1 - (-1)) = -23 cdot 2 = -43
Segunda parte:

Resposta

Portanto, a integral de linha é igual a .

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Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
ointC(x^2+y^2) d x+2 x y d y,
C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(2,4) e o segmentos de reta de (2,4) a (0,4) e de (0,4) a (0,0)
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C consiste no arco da parábola y=x^2 de (0,0) a
(1,1) seguido pelo segmento de reta de (1,1) a (0,0)
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integralC x y d x+y^5 d y,
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