Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o quadrado com vértices
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral é
, e a curva
é um quadrado com vértices em
. Vamos precisar entender o Teorema de Green e aplicá-lo para transformar essa integral de linha em uma integral dupla mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele conecta a integral de linha ao redor de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
que está dentro de
. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Segundo, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema de Green, substituímos na fórmula:
Então, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o quadrado com vértices em
.
Passo 5
Vamos configurar os limites da integral dupla. Como
é um quadrado de
a
e
a
, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
:
A primeira integral é:
A segunda integral é:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 7
Agora, vamos integrar isso em relação a
:
Primeira parte:
Segunda parte:
Resposta
Portanto, a integral de linha é igual a
.
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Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
consiste no arco da parábola
de
a
e o segmentos de reta de
a
e de
a
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,
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de
a
seguido pelo segmento de reta de
a
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
Cé o triângulo com vértices e
Cé o triângulo com vértices
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a curva