Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
Cé o triângulo com vértices
e
Cé o triângulo com vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva que é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,1). Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Matemáticamente, é dado por:
Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o triângulo definido pelos pontos (0,0), (2,0) e (2,1).
Passo 5
Vamos descrever a região
. O triângulo tem a base no eixo
de
a
, e a altura vai de
a
(a reta que liga (2,0) a (2,1) tem inclinação
).
Então, os limites da integração serão:
Passo 6
Agora, configuramos a integral dupla:
Primeiro, integramos com relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado com relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
,
é o quadrado com vértices
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) usando o Teorema de Green.
,
consiste no arco da parábola
de
a
e o segmentos de reta de
a
e de
a
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é a curva
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
, onde
consiste no círculo
de
a
e nos segmentos de reta de
a
e de
a