Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x y d x+y^5 d y,
Cé o triângulo com vértices (0,0),(2,0) e (2,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Teorema de Green para calcular uma integral de linha ao longo de uma curva que é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,1). Vamos precisar entender o Teorema de Green e como aplicá-lo para transformar a integral de linha em uma integral dupla, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva. Matemáticamente, é dado por:
ointC (P,dx + Q,dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, a derivada parcial de partial Qpartial x = partialpartial x (y^5) = 0 em relação a partial Ppartial y = partialpartial y (xy) = x :
Agora, a derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
ointC (xy,dx + y^5,dy) = integral duplaD ( 0 - x ) dA = -integral duplaD x,dA
Agora, precisamos calcular a integral dupla de sobre a região , que é o triângulo definido pelos pontos (0,0), (2,0) e (2,1).

Passo 5

Vamos descrever a região 0 <= x <= 2 . O triângulo tem a base no eixo 0 <= y <= 12x de a , e a altura vai de a (a reta que liga (2,0) a (2,1) tem inclinação ).
Então, os limites da integração serão:

Passo 6

Agora, configuramos a integral dupla:
-integral duplaD x,dA = -integral0^2 integral0^12x x,dy,dx
Primeiro, integramos com relação a integral0^12x x,dy = x [ y ]0^12x = x ( 12x - 0 ) = 12x^2 :

Passo 7

Agora, integramos o resultado com relação a -integral0^2 12x^2,dx = -12 integral0^2 x^2,dx = -12 [ x^33 ]0^2 = -12 ( 83 - 0 ) = -43 :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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