Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o teorema de Green.
a.
é o circulo com centro na origem e raio 2
b.
é o retangulo com vértices
e
c.
,
é o triangulo com vértices
e
d.
consiste nos segmentos de reta de
a
e de
a
e na parabola
de
a
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Ei! Vamos resolver a parte a desse exercício. A questão pede para calcular a integral de linha das expressões
ao longo de uma curva
, que é um círculo com centro na origem e raio 2. Vamos usar dois métodos: diretamente e utilizando o Teorema de Green. Para isso, precisamos entender o que é uma integral de linha e o Teorema de Green.
Passo 2
Primeiro, o que é uma integral de linha? Imagine que você tem um campo vetorial, neste caso,
. A integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo
ao longo de uma curva
. Matematicamente, é representada por:
Passo 3
Método 1: Resolução Direta
Vamos parametrizar a curva
. Como
é um círculo com centro na origem e raio 2, podemos usar coordenadas polares. A parametrização é:
Passo 4
Calculamos os diferenciais
e
:
Passo 5
Substituímos
,
,
e
na integral:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Passo 7
Método 2: Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
. O teorema diz que:
Onde
e
.
Passo 8
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 9
Substituímos na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral se reduz a:
Passo 10
Calculamos a área de
, que é um círculo de raio 2:
Passo 11
Finalmente, multiplicamos pela constante 2:
Resposta
A integral de linha
ao longo do círculo
com raio 2 é igual a
.
Exercícios relacionados
Esboce o campo vetorial
, desenhando um diagrama de flechas.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
em
.
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
a. ,
b. ,
e
e
a.
b.