Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o teorema de Green.
a. ointC(x-y) d x+(x+y) d y, C é o circulo com centro na origem e raio 2
b. ointC x y d x+x^2 d y, C é o retangulo com vértices (0,0),(3,0),(3,1) e (0,1)
c. ointC x y d x+x^2 y^3 d y, C é o triangulo com vértices (0,0),(1,0) e (1,2)
d. ointC x d x+y d y, C consiste nos segmentos de reta de (0,1) a (0,0) e de (0,0) a (1,0) e na parabola y=1-x^2 de (1,0) a (0,1)

Passo 1

Ei! Vamos resolver a parte a desse exercício. A questão pede para calcular a integral de linha das expressões (x - y) , dx + (x + y) , dy ao longo de uma curva C, que é um círculo com centro na origem e raio 2. Vamos usar dois métodos: diretamente e utilizando o Teorema de Green. Para isso, precisamos entender o que é uma integral de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, o que é uma integral de linha? Imagine que você tem um campo vetorial, neste caso, F(x, y) = (x - y, x + y). A integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo F ao longo de uma curva C. Matematicamente, é representada por:
ointC (x - y) , dx + (x + y) , dy

Passo 3

Método 1: Resolução Direta
Vamos parametrizar a curva C. Como C é um círculo com centro na origem e raio 2, podemos usar coordenadas polares. A parametrização é:
x = 2 cos theta y = 2 sin theta theta in [0, 2pi]

Passo 4

Calculamos os diferenciais dx e dy:
dx = -2 sin theta , dtheta dy = 2 cos theta , dtheta

Passo 5

Substituímos x, y, dx e dy na integral:
ointC (x - y) , dx + (x + y) , dy = integral0^2pi [ (2costheta - 2sintheta)(-2sintheta) + (2costheta + 2sintheta)(2costheta) ] dtheta

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
&= integral0^2pi [ -2(2costheta sintheta - 2sin^2theta) + 2(2cos^2theta + 2costheta sintheta) ] dtheta &= integral0^2pi [ -4costheta sintheta + 4sin^2theta + 4cos^2theta + 4costheta sintheta ] dtheta &= integral0^2pi [ 4sin^2theta + 4cos^2theta ] dtheta &= 4 integral0^2pi (sin^2theta + cos^2theta) dtheta &= 4 integral0^2pi 1 , dtheta &= 4 cdot 2pi &= 8pi

Passo 7

Método 2: Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a região D delimitada por C. O teorema diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde P = x - y e Q = x + y.

Passo 8

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial (x + y)partial x = 1 partial Ppartial y = partial (x - y)partial y = -1

Passo 9

Substituímos na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 1 - (-1) ) dA = integral duplaD 2 , dA
Então, a integral se reduz a:
2 cdot Área de D Á

Passo 10

Calculamos a área de D, que é um círculo de raio 2:
Área = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi Á

Passo 11

Finalmente, multiplicamos pela constante 2:
2 cdot 4pi = 8pi

Resposta

A integral de linha ointC(x - y) , dx + (x + y) , dy ao longo do círculo C com raio 2 é igual a 8pi.

Exercícios relacionados