Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o teorema de Green.
a. é o circulo com centro na origem e raio 2
b. é o retangulo com vértices e
c. , é o triangulo com vértices e
d. consiste nos segmentos de reta de a e de a e na parabola de a

Passo 1

Ei! Vamos resolver a parte a desse exercício. A questão pede para calcular a integral de linha das expressões ao longo de uma curva , que é um círculo com centro na origem e raio 2. Vamos usar dois métodos: diretamente e utilizando o Teorema de Green. Para isso, precisamos entender o que é uma integral de linha e o Teorema de Green.

Passo 2

Primeiro, o que é uma integral de linha? Imagine que você tem um campo vetorial, neste caso, . A integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo ao longo de uma curva . Matematicamente, é representada por:

Passo 3

Método 1: Resolução Direta
Vamos parametrizar a curva . Como é um círculo com centro na origem e raio 2, podemos usar coordenadas polares. A parametrização é:

Passo 4

Calculamos os diferenciais e :

Passo 5

Substituímos , , e na integral:

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:

Passo 7

Método 2: Usando o Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona a integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada por . O teorema diz que:
Onde e .

Passo 8

Calculamos as derivadas parciais:

Passo 9

Substituímos na fórmula do Teorema de Green:
Então, a integral se reduz a:
Á

Passo 10

Calculamos a área de , que é um círculo de raio 2:
Á

Passo 11

Finalmente, multiplicamos pela constante 2:

Resposta

A integral de linha ao longo do círculo com raio 2 é igual a .

Exercícios relacionados

Esboce o campo vetorial , desenhando um diagrama de flechas.
a.
b.
c.
d.
Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: em .
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de a .
a. ,
b. ,
e
e