Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: f(x, y)=rly^4+3 x^2 y^2+2 y x^3(x^2+y^2)^2, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0), em (0,0).

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo que pede para verificar se a função é contínua no ponto . O conteúdo envolve o conceito de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua no ponto lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) = 0 se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite f(x, y) = y^4 + 3x^2y^2 + 2yx^3(x^2 + y^2)^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0) . A função dada é:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, representa a distância até a origem, ou seja, . Quando se aproxima de , tende a 0.

Passo 4

Substituindo f(r, theta) = (rsintheta)^4 + 3(rcostheta)^2(rsintheta)^2 + 2(rsintheta)(rcostheta)^3(r^2)^2 = r^4sin^4theta + 3r^4cos^2thetasin^2theta + 2r^4sinthetacos^3thetar^4 e por e na função, temos:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por f(r, theta) = r^4sin^4thetar^4 + 3r^4cos^2thetasin^2thetar^4 + 2r^4sinthetacos^3thetar^4 = sin^4theta + 3cos^2thetasin^2theta + 2sinthetacos^3theta :

Passo 6

Observamos que a expressão resultante não depende de . Isso significa que, ao calcular o limite quando tende a 0, o valor de depende apenas de . Para que o limite exista e seja igual a 0, essa expressão deve ser igual a 0 para qualquer valor de .

Passo 7

Vamos verificar se a expressão sin(0) = 0 e cos(0) = 1 é igual a 0 para todo sin^4(0) + 3cos^2(0)sin^2(0) + 2sin(0)cos^3(0) = 0 + 0 + 0 = 0 .
Por exemplo, se escolhermos sin(pi2) = 1 e cos(pi2) = 0 :
sin^4(pi2) + 3cos^2(pi2)sin^2(pi2) + 2sin(pi2)cos^3(pi2) = 1 + 0 + 0 = 1
Agora, se escolhermos :

Passo 8

Vemos que o resultado do limite depende de . Para , o limite é 0, e para , o limite é 1. Como o limite depende do caminho pelo qual se aproxima de , o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, como o limite de quando tende a não é único, a função não é contínua em .

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