Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: em .

Passo 1

Então, temos um exercício de cálculo que pede para verificar se a função é contínua no ponto . O conteúdo envolve o conceito de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular o limite da função quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite . A função dada é:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde e . Nesse sistema, representa a distância até a origem, ou seja, . Quando se aproxima de , tende a 0.

Passo 4

Substituindo e por e na função, temos:

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por :

Passo 6

Observamos que a expressão resultante não depende de . Isso significa que, ao calcular o limite quando tende a 0, o valor de depende apenas de . Para que o limite exista e seja igual a 0, essa expressão deve ser igual a 0 para qualquer valor de .

Passo 7

Vamos verificar se a expressão é igual a 0 para todo .
Por exemplo, se escolhermos :
Agora, se escolhermos :

Passo 8

Vemos que o resultado do limite depende de . Para , o limite é 0, e para , o limite é 1. Como o limite depende do caminho pelo qual se aproxima de , o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, como o limite de quando tende a não é único, a função não é contínua em .

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a.
b.
c.
d.
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a.
b.
c.
d.
Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o teorema de Green.
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b. é o retangulo com vértices e
c. , é o triangulo com vértices e
d. consiste nos segmentos de reta de a e de a e na parabola de a