Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
em
.
Passo 1
Então, temos um exercício de cálculo que pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. O conteúdo envolve o conceito de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e calcular o limite da função quando
se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar se:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite
. A função dada é:
Para facilitar o cálculo do limite, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Nesse sistema,
representa a distância até a origem, ou seja,
. Quando
se aproxima de
,
tende a 0.
Passo 4
Substituindo
e
por
e
na função, temos:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 6
Observamos que a expressão resultante não depende de
. Isso significa que, ao calcular o limite quando
tende a 0, o valor de
depende apenas de
. Para que o limite exista e seja igual a 0, essa expressão deve ser igual a 0 para qualquer valor de
.
Passo 7
Vamos verificar se a expressão
é igual a 0 para todo
.
Por exemplo, se escolhermos
:
Agora, se escolhermos
:
Passo 8
Vemos que o resultado do limite depende de
. Para
, o limite é 0, e para
, o limite é 1. Como o limite depende do caminho pelo qual
se aproxima de
, o limite geral não existe.
Resposta
Portanto, como o limite de
quando
tende a
não é único, a função
não é contínua em
.