Determine o trabalho realizado pelo campo de força F ao mover um objeto de P a Q.
a. F(x, y) = 2 * y^(3/2) * i + 3 * x * raiz(y) * j,
b. F(x, y) = e^(-y * i) - x * e^(-y) * j,
P(1, 1) e Q(2, 4)
P(1, 1) e Q(2,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto de um ponto a um ponto . Vamos precisar entender um pouco sobre campos de força conservativos e integrais de linha para calcular esse trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a do exercício. Temos o campo de força:
E os pontos de movimento são e .

Passo 3

Para calcular o trabalho realizado por esse campo de força, precisamos verificar se é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Uma condição para isso é que as componentes parciais satisfaçam:
Vamos calcular:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial . Integramos em relação a :
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Igualando a :
Então, a função potencial é:

Passo 5

O trabalho realizado pelo campo de força ao mover de a é dado pela diferença da função potencial nesses pontos:
Calculando para e :
Então,

Passo 6

Agora, vamos para a parte b do exercício. O campo de força é:
E os pontos de movimento são e .

Passo 7

Vamos verificar se esse campo também é conservativo. Calculamos as derivadas parciais:
Como as derivadas parciais são iguais ( ), o campo é conservativo.

Passo 8

Encontramos a função potencial . Integramos em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Igualando a :
Então, a função potencial é:

Passo 9

Calculamos o trabalho realizado:
Para e :
Então,

Resposta

a. O trabalho realizado é 30 unidades de energia.
b. O trabalho realizado é aproximadamente 1,63 unidades de energia.

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