Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
a.
,
b.
,
e
e
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo de força
ao mover um objeto de um ponto
a um ponto
. Vamos precisar entender um pouco sobre campos de força conservativos e integrais de linha para calcular esse trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a do exercício. Temos o campo de força:
E os pontos de movimento são
e
.
Passo 3
Para calcular o trabalho realizado por esse campo de força, precisamos verificar se
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Uma condição para isso é que as componentes parciais satisfaçam:
Vamos calcular:
Como
, o campo é conservativo.
Passo 4
Como o campo é conservativo, podemos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Igualando a
:
Então, a função potencial é:
Passo 5
O trabalho realizado pelo campo de força ao mover de
a
é dado pela diferença da função potencial nesses pontos:
Calculando para
e
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos para a parte b do exercício. O campo de força é:
E os pontos de movimento são
e
.
Passo 7
Vamos verificar se esse campo também é conservativo. Calculamos as derivadas parciais:
Como as derivadas parciais são iguais (
), o campo é conservativo.
Passo 8
Encontramos a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Igualando a
:
Então, a função potencial é:
Passo 9
Calculamos o trabalho realizado:
Para
e
:
Então,
Resposta
a. O trabalho realizado é 30 unidades de energia.
b. O trabalho realizado é aproximadamente 1,63 unidades de energia.