Esboce o campo vetorial , desenhando um diagrama de flechas.
a.
b.
c.
d.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar diferentes campos vetoriais desenhando diagramas de flechas. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial, onde aprendemos como representar vetores em um espaço. Para isso, vamos precisar entender como cada componente do vetor se comporta em relação às coordenadas , e .

Passo 2

Vamos começar com a parte a, onde . Aqui, o vetor tem componentes constantes: na direção e na direção .
Isso significa que, em qualquer ponto do plano , o vetor será sempre o mesmo: apontando igualmente para a direita e para cima. Então, para esboçar esse campo, basta desenhar flechas iguais em todos os pontos do gráfico, todas com o mesmo comprimento e direção diagonal.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b, onde . Aqui, os componentes do vetor dependem das coordenadas e .
Primeiro, calculamos o denominador , que é a distância do ponto à origem. Então, cada componente do vetor é o valor da coordenada dividido por essa distância.
Isso faz com que os vetores apontem radialmente para fora da origem, com comprimento igual a 1. Para esboçar, desenhe flechas que apontam diretamente para longe do centro, todas com o mesmo tamanho.

Passo 4

Seguimos para a parte c, onde . Aqui, o vector só tem componente na direção , e esse componente depende de .
Isso significa que em qualquer ponto, a flecha aponta para cima ou para baixo no eixo , dependendo do valor de . Se for positivo, a flecha aponta para cima; se for negativo, para baixo. O comprimento da flecha aumenta conforme o valor absoluto de aumenta.
Para esboçar, nos planos , desenhe flechas verticais cuja altura aumenta à medida que aumenta.

Passo 5

Por fim, na parte d, temos . Aqui, o vetor tem componentes constantes: -1 na direção e 1 na direção .
Isso significa que, em qualquer ponto do espaço, o vetor aponta diagonalmente para o canto inferior direito, com a mesma magnitude. Não há componente na direção , então as flechas ficam no plano .
Para esboçar, desenhe flechas iguais em todos os pontos, apontando na direção , ou seja, para a esquerda e para cima igualmente.

Resposta

Conseguimos esboçar todos os campos vetoriais descritos:
a. Flechas diagonais iguais apontando para cima e para a direita.
b. Flechas apontando radialmente para fora da origem, todas com o mesmo tamanho.
c. Flechas verticais cuja altura aumenta conforme o valor de .
d. Flechas iguais apontando para a esquerda e para cima no plano .

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Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: em .
Determine o campo vetorial gradiente de f .
a.
b.
c.
d.
Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o teorema de Green.
a. é o circulo com centro na origem e raio 2
b. é o retangulo com vértices e
c. , é o triangulo com vértices e
d. consiste nos segmentos de reta de a e de a e na parabola de a
Calcule as seguintes integrais de superfície, onde está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.