Calcule as seguintes integrais de superfície, onde está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.

Passo 1

Beleza, você quer calcular integrais de superfície onde a superfície está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais de superfície e como trabalhar com vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma integral de superfície. Basicamente, é uma extensão das integrais duplas para calcular fluxos através de superfícies bidimensionais no espaço tridimensional. Precisamos identificar a superfície e o campo vetorial associado.

Passo 3

Como está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora, isso significa que estamos considerando a orientação externa da superfície. Essa orientação é importante para aplicar corretamente o teorema de Gauss ou outros métodos de integração.

Passo 4

Agora, para calcular a integral de superfície, geralmente usamos a fórmula:
onde é o campo vetorial, é o vetor normal unitário à superfície , e é o elemento de área na superfície.

Passo 5

Vamos precisar parametrizar a superfície , encontrar o vetor normal , e então calcular o produto escalar . Após isso, integramos essa expressão sobre toda a superfície.

Resposta

Para fornecer uma resposta final, preciso das equações específicas da superfície e do campo vetorial . Assim, poderei calcular a integral de superfície passo a passo conforme explicado.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o teorema de Green.
a. é o circulo com centro na origem e raio 2
b. é o retangulo com vértices e
c. , é o triangulo com vértices e
d. consiste nos segmentos de reta de a e de a e na parabola de a
Esboce o campo vetorial , desenhando um diagrama de flechas.
a.
b.
c.
d.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força ao mover um objeto de a .
a. ,
b. ,
e
e
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. , C é o quadrado de lados e
b. , Cé o circulo
c. , C é a elipse