Calcule as seguintes integrais de superfície, onde
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora.
Passo 1
Beleza, você quer calcular integrais de superfície onde a superfície
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são integrais de superfície e como trabalhar com vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma integral de superfície. Basicamente, é uma extensão das integrais duplas para calcular fluxos através de superfícies bidimensionais no espaço tridimensional. Precisamos identificar a superfície
e o campo vetorial associado.
Passo 3
Como
está orientada pelo campo de vetores normais que apontam para fora, isso significa que estamos considerando a orientação externa da superfície. Essa orientação é importante para aplicar corretamente o teorema de Gauss ou outros métodos de integração.
Passo 4
Agora, para calcular a integral de superfície, geralmente usamos a fórmula:
onde
é o campo vetorial,
é o vetor normal unitário à superfície
, e
é o elemento de área na superfície.
Passo 5
Vamos precisar parametrizar a superfície
, encontrar o vetor normal
, e então calcular o produto escalar
. Após isso, integramos essa expressão sobre toda a superfície.
Resposta
Para fornecer uma resposta final, preciso das equações específicas da superfície
e do campo vetorial
. Assim, poderei calcular a integral de superfície passo a passo conforme explicado.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o teorema de Green.
a. é o circulo com centro na origem e raio 2
b. é o retangulo com vértices
e
c. ,
é o triangulo com vértices
e
d. consiste nos segmentos de reta de
a
e de
a
e na parabola
de
a
a.
b.
c.
d.
Esboce o campo vetorial
, desenhando um diagrama de flechas.
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Determine o trabalho realizado pelo campo de força
ao mover um objeto de
a
.
a. ,
b. ,
e
e
a.
b.
Use o teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
a. , C é o quadrado de lados
e
b. , Cé o circulo
c. , C é a elipse
a.
b.
c.