Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
©
, onde
consiste nos segmentos de reta de
a
e de
a
e na parábola
de
a
.
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
©
Passo 1
Vamos resolver a integral de linha
usando dois métodos: diretamente e usando o Teorema de Green. A integral de linha envolve calcular o trabalho feito por um campo ao longo de uma curva, que aqui chamamos de
. Para resolver, precisamos entender como a curva
se comporta nas diferentes partes e como aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao cálculo de uma integral dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva
nas suas partes. As partes são:
- De
a (segmento vertical). - De
a (segmento horizontal). - Da reta
até , que é a curva .
Agora, calculamos a integral diretamente, parte por parte.
Parte 1: De
a
Aqui, , então temos:
Aqui,
Parte 2: De
a
Aqui, , então temos:
Aqui,
Parte 3: Da curva
de
até
Aqui, temos que , então temos que calcular
.
Substituindo na integral, temos:
Aqui, temos que
Substituindo na integral, temos:
Essa integral se transforma em:
Calculando a primeira parte, já fizemos:
Agora a outra parte:
Somando todas as partes:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Green. O Teorema nos diz que:
onde
e
. Precisamos primeiro calcular as derivadas:
Assim, temos:
Como a região
é limitada pela curva
, a integral dupla sobre
será:
Resposta
Assim, a integral de linha pelo método direto deu
, e pelo Teorema de Green, a integral é
. Portanto, a resposta final através do método direto é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(e) , onde
.
(e)
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(a) , onde
.
(a)
As seguintes medidas de corrente e diferença de potencial foram feitas nos terminais de um resistor:
|
0,60 | 1,20 | 1,80 | 2,40 |
|
2,32 | 6,57 | 12,07 | 18,59 |
(b) O resistor obedece a Lei de Ohm? Justifique sua resposta.
Um fio condutor possui comprimento igual a
e uma seção reta circular com raio igual a
. Sabendo que a resistência entre suas extremidades é
, determine : (a) a resistividade do material;