Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
© ointC x d x+y d y, onde C consiste nos segmentos de reta de (0,1) a (0,0) e de (0,0) a (1,0) e na parábola y=1-x^2 de (1,0) a (0,1).

Passo 1

Vamos resolver a integral de linha ointC x , dx + y , dy usando dois métodos: diretamente e usando o Teorema de Green. A integral de linha envolve calcular o trabalho feito por um campo ao longo de uma curva, que aqui chamamos de C. Para resolver, precisamos entender como a curva C se comporta nas diferentes partes e como aplicar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao cálculo de uma integral dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva C nas suas partes. As partes são:
  1. De (0,1) a (0,0) (segmento vertical).
  2. De (0,0) a (1,0) (segmento horizontal).
  3. Da reta (1,0) até (0,1), que é a curva y=1-x^2.
Agora, calculamos a integral diretamente, parte por parte.
Parte 1: De (0,1) a (0,0)
Aqui, x = 0, então temos:
integral0^1 0 , dx + y , dy = integral1^0 y , dy = -integral0^1 y , dy = -[y^22]0^1 = -12
Parte 2: De (0,0) a (1,0)
Aqui, y = 0, então temos:
integral0^1 x , dx + 0 , dy = integral0^1 x , dx = [x^22]0^1 = 12
Parte 3: Da curva y=1-x^2 de (1,0) até (0,1)
Aqui, temos que y = 1 - x^2, então temos que calcular dy = -2x , dx.
Substituindo na integral, temos:
integral1^0 x , dx + (1-x^2)(-2x , dx)
Essa integral se transforma em:
-integral0^1 x , dx - integral0^1 2x(1-x^2) , dx
Calculando a primeira parte, já fizemos:
-12
Agora a outra parte:
-integral0^1 (2x - 2x^3) , dx = -[x^2 - 2x^44]0^1 = -[1 - 12] = -12
Somando todas as partes:
-12 + 12 - 12 = -12

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green. O Teorema nos diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaR (partial Qpartial x - partial Ppartial y) , dA,
onde P = x e Q = y. Precisamos primeiro calcular as derivadas:
partial Qpartial x = 0,
partial Ppartial y = 0
Assim, temos:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - 0 = 0
Como a região R é limitada pela curva C, a integral dupla sobre R será:
integral duplaR 0 , dA = 0

Resposta

Assim, a integral de linha pelo método direto deu ointC x , dx + y , dy = -12, e pelo Teorema de Green, a integral é 0. Portanto, a resposta final através do método direto é -12.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(e) integralC z d x+x d y+y d z, onde C: x=t^2, y=t^3, z=t^2, 0 <= t <= 1.
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(a) integralC y^3 d s, onde C: x=t^3, y=t, 0 <= t <= 2.
As seguintes medidas de corrente e diferença de potencial foram feitas nos terminais de um resistor:
rrrrr $I(A)$ & 0,60 & 1,20 & 1,80 & 2,40 $V(V)$ & 2,32 & 6,57 & 12,07 & 18,59 0,60 1,20 1,80 2,40
2,32 6,57 12,07 18,59
(b) O resistor obedece a Lei de Ohm? Justifique sua resposta.
Um fio condutor possui comprimento igual a 19,2 m e uma seção reta circular com raio igual a 1,05 mm. Sabendo que a resistência entre suas extremidades é 0,152 Omega, determine : (a) a resistividade do material;