Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(e) integralC z d x+x d y+y d z, onde C: x=t^2, y=t^3, z=t^2, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: queremos calcular uma integral de linha da forma integralC z , dx + x , dy + y , dz ao longo da curva C, que é definida por x=t^2, y=t^3 e z=t^2, onde t varia de 0 a 1. O conteúdo da matéria aqui é a integral de linha, que é basicamente uma forma de somar valores de uma função ao longo de um caminho ou curva em um espaço. Para resolver, vamos precisar das derivadas das funções paramétricas que definem a curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções x, y e z em relação a t:
  • Para x = t^2, temos dxdt = 2t.
  • Para y = t^3, temos dydt = 3t^2.
  • Para z = t^2, temos dzdt = 2t.
Agora, a integral de linha que queremos calcular fica mais simples se substituímos dx, dy e dz em termos de dt. Então, vamos fazer essas substituições na integral.

Passo 3

Substituindo dx, dy e dz na integral, temos:
  • dx = 2t , dt,
  • dy = 3t^2 , dt,
  • dz = 2t , dt.
Agora, podemos reescrever a integral:
integralC z , dx + x , dy + y , dz = integral0^1 (t^2 cdot 2t , dt + t^2 cdot 3t^2 , dt + t^3 cdot 2t , dt)
Vamos simplificar isso:
  1. O primeiro termo: t^2 cdot 2t = 2t^3.
  2. O segundo termo: t^2 cdot 3t^2 = 3t^4.
  3. O terceiro termo: t^3 cdot 2t = 2t^4.
Agora, somando tudo, ficamos com:
integral0^1 (2t^3 + 3t^4 + 2t^4) , dt = integral0^1 (2t^3 + 5t^4) , dt

Passo 4

Agora vamos calcular a integral:
integral0^1 (2t^3 + 5t^4) , dt = integral0^1 2t^3 , dt + integral0^1 5t^4 , dt
Calculando as integrais separadamente:
  1. Para integral 2t^3 , dt, a antiderivada é 24t^4 = 12t^4. Avaliando de 0 a 1, temos 12(1^4) - 12(0^4) = 12.
  2. Para integral 5t^4 , dt, a antiderivada é 55t^5 = t^5. Avaliando de 0 a 1, temos 1^5 - 0^5 = 1.
Agora somamos os resultados da integral:
12 + 1 = 32

Resposta

A integral de linha é 32.

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rrrrr $I(A)$ & 0,60 & 1,20 & 1,80 & 2,40 $V(V)$ & 2,32 & 6,57 & 12,07 & 18,59 0,60 1,20 1,80 2,40
2,32 6,57 12,07 18,59
(b) O resistor obedece a Lei de Ohm? Justifique sua resposta.