Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(e)
, onde
.
(e)
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: queremos calcular uma integral de linha da forma
ao longo da curva
, que é definida por
,
e
, onde
varia de
a
. O conteúdo da matéria aqui é a integral de linha, que é basicamente uma forma de somar valores de uma função ao longo de um caminho ou curva em um espaço. Para resolver, vamos precisar das derivadas das funções paramétricas que definem a curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas das funções
,
e
em relação a
:
- Para
, temos . - Para
, temos . - Para
, temos .
Agora, a integral de linha que queremos calcular fica mais simples se substituímos
,
e
em termos de
. Então, vamos fazer essas substituições na integral.
Passo 3
Substituindo
,
e
na integral, temos:
-
, -
, -
.
Agora, podemos reescrever a integral:
Vamos simplificar isso:
- O primeiro termo:
. - O segundo termo:
. - O terceiro termo:
.
Agora, somando tudo, ficamos com:
Passo 4
Agora vamos calcular a integral:
Calculando as integrais separadamente:
- Para
, a antiderivada é . Avaliando de a , temos . - Para
, a antiderivada é . Avaliando de a , temos .
Agora somamos os resultados da integral:
Resposta
A integral de linha é
.