Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(a)
, onde
.
(a)
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha da função
ao longo da curva
. A curva
é definida parametricamente por
e
, onde
varia de 0 a 2. Esse exercício faz parte do assunto de integrais de linha na matemática, que envolve calcular integrais ao longo de uma curva no plano. Para resolver, precisamos usar a fórmula da integral de linha, que envolve a parametrização da curva e o cálculo do comprimento do segmento.
Passo 2
A integral de linha que precisamos resolver é dada por:
Aqui,
é o elemento de comprimento de arco, que podemos expressar em termos da parametrização. Primeiro, vamos calcular o
. Para isso, precisamos de
e
:
- Derivando
, temos . - Derivando
, temos .
Agora, como
, vamos substituir:
Assim, podemos expressar nossa integral de linha:
Passo 3
Agora precisamos calcular essa integral:
Essa integral pode ser um pouco complicada, então vamos fazer uma substituição. Vamos definir
, assim, derivando em relação a
, temos:
Agora, precisamos também converter os limites de integração. Quando
,
; e quando
,
. Substituindo tudo, nossa integral se torna:
Quando integramos
, obtemos:
Agora, aplicando os limites:
Resposta
Calculando isso, temos:
Agora,
. Você pode calcular essa parte final, mas já temos a integral de linha que é:
Essa é a resposta final do exercício!
Exercícios relacionados
Determine uma função
tal que
e calcule
sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(a) e
é o arco da parábola
de
a
.
(a)
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
(a)
(a)
Calcule a integral de linha, onde
é a curva dada.
(e) , onde
.
(e)
Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
© , onde
consiste nos segmentos de reta de
a
e de
a
e na parábola
de
a
.
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
©