Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(a) integralC y^3 d s, onde C: x=t^3, y=t, 0 <= t <= 2.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha da função y^3 ao longo da curva C. A curva C é definida parametricamente por x = t^3 e y = t, onde t varia de 0 a 2. Esse exercício faz parte do assunto de integrais de linha na matemática, que envolve calcular integrais ao longo de uma curva no plano. Para resolver, precisamos usar a fórmula da integral de linha, que envolve a parametrização da curva e o cálculo do comprimento do segmento.

Passo 2

A integral de linha que precisamos resolver é dada por:
integralC y^3 d s
Aqui, d s é o elemento de comprimento de arco, que podemos expressar em termos da parametrização. Primeiro, vamos calcular o d s. Para isso, precisamos de dx e dy:
  • Derivando x = t^3, temos dx = 3t^2 dt.
  • Derivando y = t, temos dy = dt.
Agora, como d s = raiz(dx)^2 + (dy)^2, vamos substituir:
d s = raiz(3t^2 dt)^2 + (dt)^2 = raiz9t^4 dt^2 + dt^2 = raiz(9t^4 + 1)dt^2 = raiz9t^4 + 1 dt
Assim, podemos expressar nossa integral de linha:
integralC y^3 d s = integral0^2 (t^3) raiz9t^4 + 1 dt

Passo 3

Agora precisamos calcular essa integral:
integral0^2 t^3 raiz9t^4 + 1 dt
Essa integral pode ser um pouco complicada, então vamos fazer uma substituição. Vamos definir u = 9t^4 + 1, assim, derivando em relação a t, temos:
du = 36t^3 dt Rightarrow dt = du36t^3
Agora, precisamos também converter os limites de integração. Quando t = 0, u = 1; e quando t = 2, u = 9 cdot 16 + 1 = 145. Substituindo tudo, nossa integral se torna:
integral1^145 raizu 136 du = 136 integral1^145 u^1/2 du
Quando integramos u^1/2, obtemos:
integral u^1/2 du = u^3/23/2 = 23 u^3/2
Agora, aplicando os limites:
= 136 cdot 23 [145^3/2 - 1^3/2]

Resposta

Calculando isso, temos:
= 154 [145^3/2 - 1]
Agora, 145^3/2 = 145 cdot raiz145. Você pode calcular essa parte final, mas já temos a integral de linha que é:
154 [145^3/2 - 1]
Essa é a resposta final do exercício!

Exercícios relacionados

Determine uma função f tal que nabla f=F e calcule integralC F cdot d r sobre a curva dada, usando o Teorema Fundamental das integrais de linha.
(a) F(x, y)=x^2 i+y^2 j e C é o arco da parábola y=2 x^2 de (-1,2) a (2,8).
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que nabla f=F.
(a) F(x, y)=(2 x-3 y) i+(-3 x+4 y-8) j
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
(e) integralC z d x+x d y+y d z, onde C: x=t^2, y=t^3, z=t^2, 0 <= t <= 1.
Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
© ointC x d x+y d y, onde C consiste nos segmentos de reta de (0,1) a (0,0) e de (0,0) a (1,0) e na parábola y=1-x^2 de (1,0) a (0,1).