Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b) ointC x y d x+x^2 d y, onde C é o retângulo com vértices (0,0),(3,0),(3,1) e (0,1).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo! Temos que calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar uma função ao longo de um caminho no plano. O conteúdo da matéria aqui é sobre integrais de linha e o Teorema de Green, que é uma forma de conectar integrais de linha a integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar da função f(x,y) = x y , dx + x^2 , dy e o caminho C que é um retângulo com os vértices dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente. O caminho C é o contorno do retângulo, então podemos dividir a integral em quatro partes:
  1. De (0,0) a (3,0)
  2. De (3,0) a (3,1)
  3. De (3,1) a (0,1)
  4. De (0,1) a (0,0)
Vamos calcular a integral em cada segmento.
  1. Segmento de (0,0) a (3,0):
    • Aqui, y = 0, então nossa função se torna f(x,0) = x cdot 0 , dx + x^2 , dy = 0 + 0 = 0.
    • A integral é integral0^3 0 , dx = 0.
  2. Segmento de (3,0) a (3,1):
    • Agora, x = 3, então a função fica f(3,y) = 3y , dx + 3^2 , dy = 0 + 9 , dy.
    • A integral é integral0^1 9 , dy = 9.
  3. Segmento de (3,1) a (0,1):
    • Aqui, y = 1, então a função torna-se f(x,1) = x cdot 1 , dx + x^2 , dy = x , dx + 0 = x , dx.
    • A integral é integral3^0 x , dx = -integral0^3 x , dx = -[x^22]0^3 = -92 = -4.5.
  4. Segmento de (0,1) a (0,0):
    • Agora, x = 0, então a função se torna f(0,y) = 0 cdot y , dx + 0^2 , dy = 0 + 0 = 0.
    • A integral é integral1^0 0 , dy = 0.
Somando todas as partes da integral:
0 + 9 - 4.5 + 0 = 4.5

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green para verificar nosso resultado. O Teorema de Green diz que se temos um campo vetorial F = (P, Q), a integral de linha ao longo de um caminho fechado C é igual a uma integral dupla sobre a área D que C envolve:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Aqui, temos P = xy e Q = x^2. Então precisamos calcular as derivadas:
  • partial Qpartial x = partial (x^2)partial x = 2x
  • partial Ppartial y = partial (xy)partial y = x
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - x = x
A área D é o retângulo com 0 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1. Então, vamos calcular a integral dupla:
integral duplaD x , dA = integral0^1 integral0^3 x , dx , dy
Calculando a integral interna:
integral0^3 x , dx = [x^22]0^3 = 92
Agora, a integral externa:
integral0^1 92 , dy = 92 cdot 1 = 92
Porém, não esqueçam que estamos considerando a área invertida pela orientação do caminho C, então devemos levar em conta um sinal negativo:
-92 = -4.5

Resposta

A integral de linha ointC xy , dx + x^2 , dy calculada diretamente é 4.5, e utilizando o Teorema de Green também encontramos 4.5 como valor da integral, assim, podemos afirmar que a resposta final é 4.5.

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