Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b)
, onde
é o retângulo com vértices
e
.
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo! Temos que calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar uma função ao longo de um caminho no plano. O conteúdo da matéria aqui é sobre integrais de linha e o Teorema de Green, que é uma forma de conectar integrais de linha a integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar da função
e o caminho
que é um retângulo com os vértices dados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente. O caminho
é o contorno do retângulo, então podemos dividir a integral em quatro partes:
- De
a - De
a - De
a - De
a
Vamos calcular a integral em cada segmento.
-
Segmento de
a : - Aqui,
, então nossa função se torna . - A integral é
.
- Aqui,
-
Segmento de
a : - Agora,
, então a função fica . - A integral é
.
- Agora,
-
Segmento de
a : - Aqui,
, então a função torna-se . - A integral é
.
- Aqui,
-
Segmento de
a : - Agora,
, então a função se torna . - A integral é
.
- Agora,
Somando todas as partes da integral:
Passo 3
Agora, vamos usar o Teorema de Green para verificar nosso resultado. O Teorema de Green diz que se temos um campo vetorial
, a integral de linha ao longo de um caminho fechado
é igual a uma integral dupla sobre a área
que
envolve:
Aqui, temos
e
. Então precisamos calcular as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green:
A área
é o retângulo com
e
. Então, vamos calcular a integral dupla:
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa:
Porém, não esqueçam que estamos considerando a área invertida pela orientação do caminho
, então devemos levar em conta um sinal negativo:
Resposta
A integral de linha
calculada diretamente é
, e utilizando o Teorema de Green também encontramos
como valor da integral, assim, podemos afirmar que a resposta final é
.