Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b) , onde é o retângulo com vértices e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo! Temos que calcular uma integral de linha, que é uma forma de somar uma função ao longo de um caminho no plano. O conteúdo da matéria aqui é sobre integrais de linha e o Teorema de Green, que é uma forma de conectar integrais de linha a integrais de superfície. Para resolver, vamos precisar da função e o caminho que é um retângulo com os vértices dados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral de linha diretamente. O caminho é o contorno do retângulo, então podemos dividir a integral em quatro partes:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
  4. De a
Vamos calcular a integral em cada segmento.
  1. Segmento de a :
    • Aqui, , então nossa função se torna .
    • A integral é .
  2. Segmento de a :
    • Agora, , então a função fica .
    • A integral é .
  3. Segmento de a :
    • Aqui, , então a função torna-se .
    • A integral é .
  4. Segmento de a :
    • Agora, , então a função se torna .
    • A integral é .
Somando todas as partes da integral:

Passo 3

Agora, vamos usar o Teorema de Green para verificar nosso resultado. O Teorema de Green diz que se temos um campo vetorial , a integral de linha ao longo de um caminho fechado é igual a uma integral dupla sobre a área que envolve:
Aqui, temos e . Então precisamos calcular as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do Teorema de Green:
A área é o retângulo com e . Então, vamos calcular a integral dupla:
Calculando a integral interna:
Agora, a integral externa:
Porém, não esqueçam que estamos considerando a área invertida pela orientação do caminho , então devemos levar em conta um sinal negativo:

Resposta

A integral de linha calculada diretamente é , e utilizando o Teorema de Green também encontramos como valor da integral, assim, podemos afirmar que a resposta final é .

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g) ; ao redor de ,
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; em torno do eixo
Seja . Calcule