Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
y=x^3, y=x, x >= 0; em torno do eixo x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas e ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou arruelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. Queremos encontrar os pontos onde as curvas se encontram. Então, igualamos x^3 = x implies x^3 - x = 0 implies x(x^2 - 1) = 0 implies x = 0 ou x = pm1 :
Como estamos considerando , os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Para x^3 < x implies y = x está acima de y = x^3 entre 0 e 1:
á
Isso significa que, ao girar ao redor do eixo , a distância do eixo para será o raio externo ( ) e para será o raio interno ( ).

Passo 4

O volume V = pi integrala^b [ R(x)^2 - r(x)^2 ] dx do sólido de revolução pode ser calculado usando a fórmula das arruelas:
Onde:
  • e

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:
V = pi integral0^1 [ (x)^2 - (x^3)^2 ] dx = pi integral0^1 (x^2 - x^6) dx

Passo 6

Agora, calculamos a integral:
integral0^1 (x^2 - x^6) dx = [ x^33 - x^77 ]0^1 = ( 13 - 17 ) - (0 - 0) = 13 - 17 = 421

Passo 7

Multiplicando pelo V = pi times 421 = 4pi21 , temos:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é unidades cúbicas.

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