Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
; em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas
e
ao redor do eixo
. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou arruelas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. Queremos encontrar os pontos onde as curvas se encontram. Então, igualamos
:
Como estamos considerando
, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Para
entre 0 e 1:
Isso significa que, ao girar ao redor do eixo
, a distância do eixo para
será o raio externo (
) e para
será o raio interno (
).
Passo 4
O volume
do sólido de revolução pode ser calculado usando a fórmula das arruelas:
Onde:
-
-
-
e
Passo 5
Vamos substituir na fórmula:
Passo 6
Agora, calculamos a integral:
Passo 7
Multiplicando pelo
, temos:
Resposta
O volume do sólido obtido pela rotação é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b) , onde
é o retângulo com vértices
e
.
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
g) ; ao redor de
,
g)
Seja
. Calcule
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto
indicado:
, em