Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
; em torno do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o volume do sólido que resulta ao girar a região delimitada pelas curvas e ao redor do eixo . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral, especificamente o método dos discos ou arruelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites dessa região. Queremos encontrar os pontos onde as curvas se encontram. Então, igualamos :
Como estamos considerando , os pontos de interseção são e .

Passo 3

Agora, vamos visualizar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Para entre 0 e 1:
á
Isso significa que, ao girar ao redor do eixo , a distância do eixo para será o raio externo ( ) e para será o raio interno ( ).

Passo 4

O volume do sólido de revolução pode ser calculado usando a fórmula das arruelas:
Onde:
  • e

Passo 5

Vamos substituir na fórmula:

Passo 6

Agora, calculamos a integral:

Passo 7

Multiplicando pelo , temos:

Resposta

O volume do sólido obtido pela rotação é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b) , onde é o retângulo com vértices e .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
g) ; ao redor de ,
Seja . Calcule
Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto indicado:
, em