Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
g) ; ao redor de ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno da linha . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos/anel, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva é uma parábola mais “achatada”, e é uma linha reta horizontal. Precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo para , temos:
Então, a região que vamos girar vai de a .

Passo 4

Como vamos girar em torno de , que é uma linha horizontal acima das curvas, vamos usar o método dos anéis (ou washers). A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância da curva externa ao eixo de rotação.
  • é a distância da curva interna ao eixo de rotação.
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Identificando as curvas externa e interna em relação ao eixo :
  • A curva externa é , pois está mais próxima de .
  • A curva interna é , que está mais próxima de .
As distâncias são:

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando:

Passo 7

Observamos que a função é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo . Portanto, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:

Passo 8

Calculando a integral:
Substituindo os limites:

Passo 9

Simplificando os termos:
Multiplicando por :
Como volume não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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26.
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; em torno do eixo