Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
g)
; ao redor de
,
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas
e
é girada em torno da linha
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos/anel, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva
é uma parábola mais “achatada”, e
é uma linha reta horizontal. Precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.
Passo 3
Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Resolvendo para
, temos:
Então, a região que vamos girar vai de
a
.
Passo 4
Como vamos girar em torno de
, que é uma linha horizontal acima das curvas, vamos usar o método dos anéis (ou washers). A fórmula para o volume é:
Onde:
-
é a distância da curva externa ao eixo de rotação. -
é a distância da curva interna ao eixo de rotação. -
e são os limites de integração.
Passo 5
Identificando as curvas externa e interna em relação ao eixo
:
- A curva externa é
, pois está mais próxima de . - A curva interna é
, que está mais próxima de .
As distâncias são:
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando:
Passo 7
Observamos que a função
é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo
. Portanto, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:
Passo 8
Calculando a integral:
Substituindo os limites:
Passo 9
Simplificando os termos:
Multiplicando por
:
Como volume não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo.
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
© A parte do plano que está dentro do cilindro
.
© A parte do plano
Nos Exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.
26.
26.
Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b) , onde
é o retângulo com vértices
e
.
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b)
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.
; em torno do eixo