Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
g) y=x^4, y=1; ao redor de y=2,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas e é girada em torno da linha . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos/anel, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva é uma parábola mais “achatada”, e é uma linha reta horizontal. Precisamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas para saber os limites de integração.

Passo 3

Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
x^4 = 1
Resolvendo para x = pm 1 , temos:
Então, a região que vamos girar vai de a .

Passo 4

Como vamos girar em torno de V = pi integrala^b [ R(x)^2 - r(x)^2 ] dx , que é uma linha horizontal acima das curvas, vamos usar o método dos anéis (ou washers). A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a distância da curva externa ao eixo de rotação.
  • é a distância da curva interna ao eixo de rotação.
  • e são os limites de integração.

Passo 5

Identificando as curvas externa e interna em relação ao eixo R(x) = 2 - 1 = 1 :
  • A curva externa é r(x) = 2 - x^4 , pois está mais próxima de .
  • A curva interna é , que está mais próxima de .
As distâncias são:

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral-1^1 [ 1^2 - (2 - x^4)^2 ] dx
Simplificando:
V = pi integral-1^1 [ 1 - (4 - 4x^4 + x^8) ] dx
V = pi integral-1^1 [ -3 + 4x^4 - x^8 ] dx

Passo 7

Observamos que a função V = 2pi integral0^1 [ -3 + 4x^4 - x^8 ] dx é par, ou seja, simétrica em relação ao eixo . Portanto, podemos calcular a integral de 0 a 1 e multiplicar por 2:

Passo 8

Calculando a integral:
integral0^1 [ -3 + 4x^4 - x^8 ] dx = [ -3x + 4x^55 - x^99 ]0^1
Substituindo os limites:
= [ -3(1) + 4(1)^55 - (1)^99 ] - [ -3(0) + 4(0)^55 - (0)^99 ]
= -3 + 45 - 19

Passo 9

Simplificando os termos:
-3 + 45 - 19 = -13545 + 3645 - 545 = -10445
Multiplicando por V = 2pi ( -10445 ) = -208pi45 :
Como volume não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo.

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados