Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
© A parte do plano que está dentro do cilindro .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos encontrar uma representação parametrizada para a parte do plano que está dentro do cilindro . O conteúdo da matéria aqui envolve superfícies e parametrização. Para resolver, vamos precisar de algumas fórmulas e de entender como a parametrização funciona.

Passo 2

Vamos começar analisando a equação do cilindro. O cilindro é descrito pela equação , que define um cilindro circular de raio 1 centrado na origem no plano . Ou seja, todos os pontos que satisfazem essa equação estão dentro ou na superfície do cilindro.
Agora, para representar a parte do plano que queremos, sabemos que a equação do plano é . Isso significa que o valor de depende do valor de . Agora precisamos expressar e de uma maneira que respeitem a condição do cilindro.

Passo 3

Uma maneira comum de parametrizar a região de um cilindro circular é usar um parâmetro angular . Podemos escrever:
Dessa forma, com variando de a , conseguimos percorrer o círculo definido pela condição do cilindro. Agora, precisamos expressar em função de .
Substituindo na equação do plano, teremos:
Com isso, nossa parametrização fica:

Resposta

A representação parametrizada para a parte do plano que está dentro do cilindro é dada por:
com variando de a .

Exercícios relacionados

Nos Exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.
26.
Determine o comprimento das curvas abaixo. de a .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno dos eixos especificados.
g) ; ao redor de ,
Calcule a integral de linha por dois métodos:
(I) diretamente; (II) utilizando o Teorema de Green.
(b) , onde é o retângulo com vértices e .