Determine uma representação parametrizada para as superfícies.
© A parte do plano z=x+3 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Precisamos encontrar uma representação parametrizada para a parte do plano z = x + 3 que está dentro do cilindro x^2 + y^2 = 1. O conteúdo da matéria aqui envolve superfícies e parametrização. Para resolver, vamos precisar de algumas fórmulas e de entender como a parametrização funciona.

Passo 2

Vamos começar analisando a equação do cilindro. O cilindro é descrito pela equação x^2 + y^2 = 1, que define um cilindro circular de raio 1 centrado na origem no plano xy. Ou seja, todos os pontos (x, y) que satisfazem essa equação estão dentro ou na superfície do cilindro.
Agora, para representar a parte do plano que queremos, sabemos que a equação do plano é z = x + 3. Isso significa que o valor de z depende do valor de x. Agora precisamos expressar x e y de uma maneira que respeitem a condição do cilindro.

Passo 3

Uma maneira comum de parametrizar a região de um cilindro circular é usar um parâmetro angular t. Podemos escrever:
  • x = cos(t)
  • y = sin(t)
Dessa forma, com t variando de 0 a 2pi, conseguimos percorrer o círculo definido pela condição do cilindro. Agora, precisamos expressar z em função de t.
Substituindo x = cos(t) na equação do plano, teremos:
z = cos(t) + 3
Com isso, nossa parametrização fica:
  • x(t) = cos(t)
  • y(t) = sin(t)
  • z(t) = cos(t) + 3

Resposta

A representação parametrizada para a parte do plano z = x + 3 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 é dada por:
x(t) = cos(t) y(t) = sin(t) z(t) = cos(t) + 3
com t variando de 0 a 2pi.

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