Calcule a integral de linha:
(f) integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=sen(x) i+cos (y) j+x z k e r(t)=t^3 i-t^2 j+t k, com 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha do campo vetorial F(x, y, z)=sin(x) i + cos(y) j + x z k ao longo de uma curva C dada pela parametrização r(t)=t^3 i - t^2 j + t k, onde t varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a definição de integral de linha de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada de r(t) em relação a t, que vamos chamar de r,'(t). Isso é importante porque na integral de linha integralC F cdot d r, dr é igual a r,'(t) dt.
Então, derivando cada componente de r(t):
r,'(t) = ddt(t^3) i - ddt(t^2) j + ddt(t) k = 3t^2 i - 2t j + k

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização r(t) no campo vetorial F(x, y, z). Isso significa substituir x, y e z em F por suas expressões em termos de t a partir de r(t).
Temos:
x = t^3, y = -t^2, z = t
Substituindo na F:
F(r(t)) = sin(t^3) i + cos(-t^2) j + t^3 cdot t k = sin(t^3) i + cos(t^2) j + t^4 k
(Note que cos(-t^2) = cos(t^2) porque o cosseno é uma função par.)

Passo 4

Agora vamos calcular o produto escalar F(r(t)) cdot r,'(t). Isso envolve multiplicar as componentes correspondentes e somar os resultados.
Então:
F(r(t)) cdot r,'(t) = sin(t^3) cdot 3t^2 + cos(t^2) cdot (-2t) + t^4 cdot 1 = 3t^2 sin(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4

Passo 5

Finalmente, vamos integrar essa expressão de t=0 a t=1 para encontrar o valor da integral de linha.
Então, a integral fica:
integral0^1 (3t^2 sin(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4) dt
Agora, resolvendo cada parte separadamente:
  1. Para 3t^2 sin(t^3):
    Fazendo uma substituição u = t^3, du = 3t^2 dt, a integral se torna integral sin(u) du = -cos(u) + C = -cos(t^3)
  2. Para -2t cos(t^2):
    Fazendo v = t^2, dv = 2t dt, então a integral se torna - integral cos(v) dv = -sin(v) + C = -sin(t^2)
  3. Para t^4:
    A integral é t^55
Então, a integral total é:
[-cos(t^3) - sin(t^2) + t^55]0^1 = [-cos(1) - sin(1) + 15] - [-cos(0) - sin(0) + 0]
Simplificando:
-cos(1) - sin(1) + 15 - (-1 - 0 + 0) = -cos(1) - sin(1) + 15 +1
= 1 - cos(1) - sin(1) + 15

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d r vale aproximadamente 1 - cos(1) - sin(1) + 15. Calculando numericamente:
1 - cos(1) - sin(1) + 0.2 approx 1 - 0.5403 - 0.8415 + 0.2 approx -0.1818

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