Calcule a integral de linha:
(f) , onde e , com .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha do campo vetorial ao longo de uma curva dada pela parametrização , onde varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a definição de integral de linha de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada de em relação a , que vamos chamar de . Isso é importante porque na integral de linha , é igual a .
Então, derivando cada componente de :

Passo 3

Agora, vamos substituir a parametrização no campo vetorial . Isso significa substituir , e em por suas expressões em termos de a partir de .
Temos:
Substituindo na :
(Note que porque o cosseno é uma função par.)

Passo 4

Agora vamos calcular o produto escalar . Isso envolve multiplicar as componentes correspondentes e somar os resultados.
Então:

Passo 5

Finalmente, vamos integrar essa expressão de a para encontrar o valor da integral de linha.
Então, a integral fica:
Agora, resolvendo cada parte separadamente:
  1. Para :
    Fazendo uma substituição , , a integral se torna
  2. Para :
    Fazendo , , então a integral se torna
  3. Para :
    A integral é
Então, a integral total é:
Simplificando:

Resposta

A integral de linha vale aproximadamente . Calculando numericamente:

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© : o segmento de reta que liga à
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