Calcule a integral de linha:
(f)
, onde
e
, com
.
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha do campo vetorial
ao longo de uma curva
dada pela parametrização
, onde
varia de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e a definição de integral de linha de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada de
em relação a
, que vamos chamar de
. Isso é importante porque na integral de linha
,
é igual a
.
Então, derivando cada componente de
:
Passo 3
Agora, vamos substituir a parametrização
no campo vetorial
. Isso significa substituir
,
e
em
por suas expressões em termos de
a partir de
.
Temos:
Substituindo na
:
(Note que
porque o cosseno é uma função par.)
Passo 4
Agora vamos calcular o produto escalar
. Isso envolve multiplicar as componentes correspondentes e somar os resultados.
Então:
Passo 5
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
a
para encontrar o valor da integral de linha.
Então, a integral fica:
Agora, resolvendo cada parte separadamente:
-
Para
:
Fazendo uma substituição, , a integral se torna -
Para
:
Fazendo, , então a integral se torna -
Para
:
A integral é
Então, a integral total é:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha
vale aproximadamente
. Calculando numericamente:
Exercícios relacionados
O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por
e, a distância é medida em metros. Ache a taxa de variação do potencial elétrico no ponto
na direção
com a direção positiva do eixo OX.
Calcule
, para cada uma das curvas:
© : o segmento de reta que liga
à
©
Calcule
, para cada uma das curvas:
(b) : o segmento de reta que liga
à
(b)
Suponha que
ef
para todo
.
© E possivel que ? Por que?
© E possivel que