Calcule integralC x d S, para cada uma das curvas:
(b) C2 : o segmento de reta que liga (-1,1) à (1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral para a curva , que é o segmento de reta que liga os pontos e . Isso envolve conceitos de cálculo integral aplicados a curvas no plano. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e como calcular o diferencial de comprimento .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é uma reta horizontal porque ambos os pontos têm a mesma coordenada . Então, estamos indo de até mantendo .

Passo 3

Para calcular a integral ao longo dessa curva, vamos parametrizar a reta. Podemos usar x = t y = 1 como nosso parâmetro:
onde varia de a .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o diferencial de comprimento dS = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . Em curvas parametrizadas por dxdt = 1 e dydt = 0 , temos:
dS = raiz1^2 + 0^2 , dt = raiz1 , dt = dt
Calculando as derivadas:
Então:

Passo 5

Agora, substituímos na integral original:
integralC2 x , dS = integral-1^1 t cdot dt
Aqui, substituímos por porque na parametrização.

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral-1^1 t , dt = [t^22]-1^1 = (1)^22 - (-1)^22 = 12 - 12 = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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