Calcule integralC x d S, para cada uma das curvas:
© C3 : o segmento de reta que liga (1,1) à (-1,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos calcular a integral de linha para a curva , que é o segmento de reta que liga os pontos e . Isso está relacionado ao estudo de integrais de linha na matemática, especificamente envolvendo segmentos de reta e cálculo de elementos de arco.

Passo 2

Como é um segmento de reta horizontal que vai de a , percebemos que a coordenada é sempre igual a 1 ao longo de toda a curva. Portanto, podemos parametrizar a curva usando a coordenada .

Passo 3

Vamos definir um parâmetro x(t) = 1 - 2t que varia de 0 a 1 para percorrer a curva de y(t) = 1 a . A parametrização fica:
onde .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a expressão para dS = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt , que representa um pequeno segmento de arco da curva. Para isso, usamos a fórmula:
dxdt = -2
Calculando as derivadas:
dydt = 0
dS = raiz(-2)^2 + 0^2 , dt = raiz4 , dt = 2 , dt
Então:

Passo 5

Substituímos integralC3 x , dS = integral0^1 x(t) cdot dS = integral0^1 (1 - 2t) cdot 2 , dt e = 2 integral0^1 (1 - 2t) , dt na integral original:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
2 integral0^1 (1 - 2t) , dt = 2 [ integral0^1 1 , dt - 2 integral0^1 t , dt ]
Calculando cada parte:
integral0^1 1 , dt = t |0^1 = 1 - 0 = 1
integral0^1 t , dt = t^22 |0^1 = 12 - 0 = 12
Então:
2 [ 1 - 2 cdot 12 ] = 2 [ 1 - 1 ] = 2 cdot 0 = 0

Resposta

A integral é igual a 0.

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