O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por V(x, y) = e^(-2 x) cos(y) e, a distância é medida em metros. Ache a taxa de variação do potencial elétrico no ponto (0, pi/4) na direção theta = pi/6 rad com a direção positiva do eixo OX.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção de radianos em relação ao eixo positivo do OX. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação do potencial na direção de um vetor é dada pela derivada direcional, que pode ser calculada usando o gradiente de . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de , que é o vetor das derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Agora, vamos encontrar o vetor direção na direção . As componentes desse vetor são dadas por:

Passo 6

Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:

Resposta

A taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção radianos é igual a volts por metro.

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