O potencial elétrico, em volts, em qualquer ponto do plano xy é dado por e, a distância é medida em metros. Ache a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção com a direção positiva do eixo OX.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção de radianos em relação ao eixo positivo do OX. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas direcionais e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a taxa de variação do potencial na direção de um vetor é dada pela derivada direcional, que pode ser calculada usando o gradiente de . Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de , que é o vetor das derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Passo 5
Agora, vamos encontrar o vetor direção na direção . As componentes desse vetor são dadas por:
Passo 6
Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção:
Resposta
A taxa de variação do potencial elétrico no ponto na direção radianos é igual a volts por metro.