Calcule a integral de linha de
sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função
sobre a curva
no intervalo de
de 0 a 1. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente integrais de linha para campos escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha para um campo escalar. Basicamente, a integral de linha de uma função
ao longo de uma curva
é dada por:
Aqui,
representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.
Passo 3
Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva
. Como a curva já está dada em função de
, podemos usar
como nosso parâmetro. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar
em termos de
. A fórmula para
em parámetro
é:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 5
Substituindo
e
na integral, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da função:
Portanto,
Passo 6
Agora, a integral fica mais simples:
Passo 7
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Mas na nossa integral já temos
, então:
Passo 8
Substituindo na integral:
Vamos integrar:
Passo 9
Agora, voltamos aos limites de integração. Quando
:
Quando
:
Então, a integral definida fica:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, com
e
a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.
Sejam
e o caminho parametrizado por
. Calcule a integral de linha de
sobre o dado caminho.
Seja
.
Calcule , com
tendo ponto inicial
e ponto final
.
Calcule