Calcule a integral de linha de sobre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha da função sobre a curva no intervalo de de 0 a 1. Isso envolve conceitos de cálculo, especialmente integrais de linha para campos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma integral de linha para um campo escalar. Basicamente, a integral de linha de uma função ao longo de uma curva é dada por:
Aqui, representa um elemento infinitesimal de comprimento ao longo da curva.

Passo 3

Para calcular essa integral, precisamos parametrizar a curva . Como a curva já está dada em função de , podemos usar como nosso parâmetro. Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos expressar em termos de . A fórmula para em parámetro é:
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 5

Substituindo e na integral, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da função:
Portanto,

Passo 6

Agora, a integral fica mais simples:

Passo 7

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição. Seja:
Mas na nossa integral já temos , então:

Passo 8

Substituindo na integral:
Vamos integrar:

Passo 9

Agora, voltamos aos limites de integração. Quando :
Quando :
Então, a integral definida fica:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Calcule , com e a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.
parametrizada por .
Sejam e o caminho parametrizado por . Calcule a integral de linha de sobre o dado caminho.
Seja .
Calcule , com tendo ponto inicial e ponto final .