Seja .
Calcule , com tendo ponto inicial e ponto final .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva que vai do ponto inicial até o ponto final . Esse tipo de problema está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a calcular a integral de forma mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Uma das propriedades importantes dos campos conservativos é que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se é conservativo, vamos calcular o rotacional de , que é dado por . Se o rotacional for zero, então o campo é conservativo.
Fazendo o determinante:
Calculando cada termo:
Para :
Para :
Para :
Então,
Como o rotacional de é zero, concluímos que é um campo conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que é conservativo, existe uma função potencial tal que . Vamos encontrar essa função.
Temos:
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .
Agora, usamos a segunda equação para encontrar :
Isso significa que não depende de , ou seja, .
Agora, usamos a terceira equação:
Assim, é uma constante, vamos chamar de .
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando nos pontos final e inicial e subtraindo: