Seja F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k.
Calcule integralC F cdot d s, com C tendo ponto inicial (1,2,3) e ponto final (4,5,6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k ao longo de uma curva C que vai do ponto inicial (1,2,3) até o ponto final (4,5,6). Esse tipo de problema está dentro da matéria de Cálculo Vetorial, especificamente envolvendo integrais de linha e campos conservativos. Para resolver, vamos precisar verificar se o campo F é conservativo e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a calcular a integral de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar U(x, y, z) tal que F = nabla U, onde nabla U é o gradiente de U. Uma das propriedades importantes dos campos conservativos é que a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se F é conservativo, vamos calcular o rotacional de F, que é dado por nabla times F. Se o rotacional for zero, então o campo é conservativo.
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y z & x z & x y
Fazendo o determinante:
nabla times F = i(partialpartial y(x y) - partialpartial z(x z)) - j(partialpartial x(x y) - partialpartial z(y z)) + k(partialpartial x(x z) - partialpartial y(y z))
Calculando cada termo:
  • Para i:
    partialpartial y(x y) = x partialpartial z(x z) = x Rightarrow i(x - x) = i(0) = 0
  • Para j:
    partialpartial x(x y) = y partialpartial z(y z) = y Rightarrow -j(y - y) = -j(0) = 0
  • Para k:
    partialpartial x(x z) = z partialpartial y(y z) = z Rightarrow k(z - z) = k(0) = 0
Então,
nabla times F = 0 i + 0 j + 0 k = 0
Como o rotacional de F é zero, concluímos que F é um campo conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que F é conservativo, existe uma função potencial U(x, y, z) tal que F = nabla U. Vamos encontrar essa função.
Temos:
partial Upartial x = y z partial Upartial y = x z partial Upartial z = x y
Vamos integrar a primeira equação em relação a x:
U = integral y z , dx = x y z + h(y, z)
Aqui, h(y, z) é uma função de integração que pode depender de y e z.
Agora, usamos a segunda equação para encontrar h(y, z):
partial Upartial y = x z + partial hpartial y = x z Rightarrow partial hpartial y = 0
Isso significa que h não depende de y, ou seja, h = g(z).
Agora, usamos a terceira equação:
partial Upartial z = x y + dgdz = x y Rightarrow dgdz = 0
Assim, g(z) é uma constante, vamos chamar de C.
Portanto, a função potencial é:
U(x, y, z) = x y z + C

Passo 5

Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando U nos pontos final e inicial e subtraindo:
integralC F cdot ds = U(4, 5, 6) - U(1, 2, 3)
Calculando cada termo:
U(4, 5, 6) = 4 times 5 times 6 = 120 U(1, 2, 3) = 1 times 2 times 3 = 6
Então,
integralC F cdot ds = 120 - 6 = 114

Resposta

114

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