Sejam e o caminho parametrizado por . Calcule a integral de linha de sobre o dado caminho.

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de um caminho definido pela parametrização , onde varia de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e como parametrizar o caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a parametrização na função do campo vetorial . Isso nos dá :
Sabendo que , temos , e . Substituindo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é :

Passo 4

A integral de linha é definida como:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a :

Resposta

A integral de linha de sobre o caminho dado é .

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Calcule a integral de linha de sobre .
Calcule , com e a circunferência de centro na origem e raio 3 , orientada no sentido anti-horário.
Seja .
Calcule , com tendo ponto inicial e ponto final .
Seja definida sobre o arco de parábola parametrizada como . Calcular .