Determine o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular
e os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o fluxo do campo vetorial
através da superfície da região delimitada pelo cilindro circular
e pelos planos
e
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência
é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de
em relação às suas respectivas variáveis:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla que representa o volume dentro do cilindro
e entre os planos
e
. Para facilitar os cálculos, é bom usar coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nessa coordenada, o elemento de volume
é
.
Passo 4
Expressando a divergência
em coordenadas cilíndricas, temos:
Agora, montamos a integral tripla:
Aqui,
vai de 0 a 3 (raio do cilindro),
vai de 0 a
(uma volta completa) e
vai de 0 a 2 (altura entre os planos).
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos o resultado em relação a
:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície dada é
.