através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular e os planos e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o fluxo do campo vetorial através da superfície da região delimitada pelo cilindro circular e pelos planos e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas respectivas variáveis:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla que representa o volume dentro do cilindro e entre os planos e . Para facilitar os cálculos, é bom usar coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa coordenada, o elemento de volume é .
Passo 4
Expressando a divergência em coordenadas cilíndricas, temos:
Agora, montamos a integral tripla:
Aqui, vai de 0 a 3 (raio do cilindro), vai de 0 a (uma volta completa) e vai de 0 a 2 (altura entre os planos).
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Passo 6
Em seguida, integramos o resultado em relação a :
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a :
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da superfície dada é .