Determine o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z) = x^3 i + y^3 j + z^2 k
através da superfície da região envolvida pelo cilindro circular x^2 + y^2 = 9 e os planos z = 0 e z = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o fluxo do campo vetorial através da superfície da região delimitada pelo cilindro circular e pelos planos e . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a divergência do campo vetorial dentro do volume limitado por essa superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada pela soma das derivadas parciais das componentes de em relação às suas respectivas variáveis:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla que representa o volume dentro do cilindro e entre os planos e . Para facilitar os cálculos, é bom usar coordenadas cilíndricas, onde , e . Nessa coordenada, o elemento de volume é .

Passo 4

Expressando a divergência em coordenadas cilíndricas, temos:
Agora, montamos a integral tripla:
Aqui, vai de 0 a 3 (raio do cilindro), vai de 0 a (uma volta completa) e vai de 0 a 2 (altura entre os planos).

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos o resultado em relação a :

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície dada é .

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