Determine a área da parte do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da parte do plano que está no primeiro octante. Isso significa que estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar os limites dessa região no primeiro octante e depois calcular sua área usando conceitos de cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o primeiro octante. No espaço 3D, o primeiro octante é onde todas as coordenadas , e são positivas. Então, queremos encontrar os pontos no plano onde , e .
Passo 3
Vamos encontrar as interseções do plano com os eixos coordenados. Para isso:
Quando e , temos .
Quando e , temos .
Quando e , temos .
Então, os pontos de interseção são , e .
Passo 4
Agora, vamos visualizar a região no primeiro octante. Esses três pontos formam um triângulo no espaço. Para calcular a área desse triângulo, podemos usar a fórmula da área para um triângulo no espaço utilizando o produto vetorial.
Passo 5
Primeiro, definimos dois vetores que estão no plano do triângulo. Vamos usar os vetores e , onde:
Então:
Passo 6
Agora, calculamos o produto vetorial :
Passo 7
A magnitude desse vetor resultado nos dá duas vezes a área do triângulo:
Então, a área do triângulo é:
Resposta
A área da parte do plano no primeiro octante é 24 unidades de área.