Demonstre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite quando
se aproxima de 0 da função
é igual a 0. Isso envolve conceitos de limites e, mais especificamente, vamos usar o Teorema do Sanduíche para resolver. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como o x² influencia isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno tem seus valores sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer número dentro da função cosseno, temos:
Isso é útil porque nos dá uma “faixa” onde a nossa função está localizada.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar toda essa desigualdade por
. Como
é sempre positivo (não importa se
é positivo ou negativo), a direção das desigualdades não muda:
Isso significa que a nossa função está “presa” entre
e
.
Passo 4
Vamos analisar o que acontece com
e
quando
se aproxima de 0:
Então, tanto
quanto
estão tendendo para 0.
Passo 5
Segundo o Teorema do Sanduíche, se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite. Como vimos que:
e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
Resposta
O limite é 0.