Demonstre que
lim x 0 x^2 cos (1x^2)=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que o limite quando se aproxima de 0 da função é igual a 0. Isso envolve conceitos de limites e, mais especificamente, vamos usar o Teorema do Sanduíche para resolver. Vamos precisar entender como a função cosseno se comporta e como o x² influencia isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno tem seus valores sempre entre -1 e 1. Ou seja, para qualquer número dentro da função cosseno, temos:
-1 <= cos(1x^2) <= 1
Isso é útil porque nos dá uma “faixa” onde a nossa função está localizada.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda essa desigualdade por - x^2 <= x^2 cos(1x^2) <= x^2 . Como é sempre positivo (não importa se é positivo ou negativo), a direção das desigualdades não muda:
Isso significa que a nossa função está “presa” entre e .

Passo 4

Vamos analisar o que acontece com limx to 0 -x^2 = 0 e limx to 0 x^2 = 0 quando se aproxima de 0:
Então, tanto quanto estão tendendo para 0.

Passo 5

Segundo o Teorema do Sanduíche, se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite em um ponto, então ela também tem esse limite. Como vimos que:
- x^2 <= x^2 cos(1x^2) <= x^2
e ambos os limites das extremidades são 0, podemos concluir que:
limx to 0 x^2 cos(1x^2) = 0

Resposta

O limite é 0.

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